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矩阵乘法

你只能乘以两个矩阵如果他们的话方面是兼容的，这意味着第一矩阵中的列数与第二矩阵中的行数相同。

如果$\mathrm{一种}=\left[{\mathrm{一种}}_{\mathrm{一世}j}\right]$是一个$m\times N$矩阵和$\mathrm{B.}=\left[{\mathrm{B.}}_{\mathrm{一世}j}\right]$是一个$N\times \mathrm{P.}$矩阵，产品$\mathrm{一种}\mathrm{B.}$是一个$m\times \mathrm{P.}$矩阵。

$\mathrm{一种}\mathrm{B.}=\left[C_{\mathrm{一世}j}\right]$， 在哪里$C_{\mathrm{一世}j}={\mathrm{一种}}_{\mathrm{一世}1}{\mathrm{B.}}_{1j}+{\mathrm{一种}}_{\mathrm{一世}2}{\mathrm{B.}}_{2j}+\mathrm{......}+{\mathrm{一种}}_{\mathrm{一世}N}{\mathrm{B.}}_{Nj}$。

（进入${\mathrm{一世}}^{\text{TH.}}$行和$j^{\text{TH.}}$列由双重下标符号表示${\mathrm{一种}}_{\mathrm{一世}j}$那${\mathrm{B.}}_{\mathrm{一世}j}$， 和$C_{\mathrm{一世}j}$。例如，条目${\mathrm{一种}}_{23.}$是第二行和第三列中的条目。）

矩阵乘法的定义表示逐行乘法，其中条目${\mathrm{一世}}^{\text{TH.}}$row$\mathrm{一种}$乘以相应的条目$j^{\text{TH.}}$柱的$\mathrm{B.}$然后添加结果。

矩阵乘法不是换向。如果既不是$\mathrm{一种}$也不$\mathrm{B.}$是一个身份矩阵，$\mathrm{一种}\mathrm{B.}\ne \mathrm{B.}\mathrm{一种}$。

按列乘以一行

我们首先向您展示如何乘以一个$1\times N$矩阵由A.$N\times 1$矩阵。第一个只是单行，第二个是单列。通过上述规则，产品是一个$1\times 1$矩阵;换句话说，单个数字。

首先，让我们命名行中的条目${\mathrm{R.}}_1那{\mathrm{R.}}_2那\mathrm{......}那{\mathrm{R.}}_N$以及列中的条目$C_1那C_2那\mathrm{......}那C_N$。然后是行的乘积和列是$1\times 1$矩阵

$\left[{\mathrm{R.}}_1{C}_1+{\mathrm{R.}}_2{C}_2+\mathrm{......}+{\mathrm{R.}}_N{C}_N\right]$。

我们必须乘以一个$1\times 3.$矩阵A.$1\times 3.$矩阵。第一个列中的列数与第二行的行数相同，因此它们兼容。

产品是：

$\begin{array}{l}\left[（1）（2）+（4.）（-1）+（0.）（5.）\right]\\ =\left[2+（-4.）+0.\right]\\ =\left[-2\right]\end{array}$

乘以更大的矩阵

既然你知道如何通过列乘以一行，乘以较大的矩阵很容易。为了进入${\mathrm{一世}}^{\text{TH.}}$行和$j^{\text{TH.}}$产品矩阵的列，将每个条目乘以${\mathrm{一世}}^{\text{TH.}}$第一个矩阵的行由相应的条目中的$j^{\text{TH.}}$第二矩阵的列并添加结果。

让我们采取以下问题，乘以一个$2\times 3.$矩阵与A.$3.\times 2$矩阵，得到一个$2\times 2$矩阵作为产品。称为产品矩阵的条目${\mathrm{E.}}_{\mathrm{一世}j}$当他们在里面${\mathrm{一世}}^{\text{TH.}}$行和$j^{\text{TH.}}$柱子。

$\left[\begin{array}{rrr}\hfill 1& \hfill 0.& \hfill 1\\ \hfill 0.& \hfill 1& \hfill 2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{rr}\hfill 3.& \hfill 5.\\ \hfill -1& \hfill 0.\\ \hfill 2& \hfill -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}\hfill {\mathrm{E.}}_{11.}& \hfill {\mathrm{E.}}_{12.}\\ \hfill {\mathrm{E.}}_{21.}& \hfill {\mathrm{E.}}_{22.}\end{array}\right]$

要得到${\mathrm{E.}}_{11.}$，乘以行$1$第一个矩阵按列$1$第二。

${\mathrm{E.}}_{11.}=\left[\begin{array}{rrr}\hfill 1& \hfill 0.& \hfill 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{r}\hfill 3.\\ \hfill -1\\ \hfill 2\end{array}\right]=1（3.）+0.（-1）+1（2）=5.$

要得到${\mathrm{E.}}_{12.}$，乘以行$1$第一个矩阵按列$2$第二。

${\mathrm{E.}}_{12.}=\left[\begin{array}{rrr}\hfill 1& \hfill 0.& \hfill 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{r}\hfill 5.\\ \hfill 0.\\ \hfill -1\end{array}\right]=1（5.）+0.（0.）+1（-1）=4.$

要得到${\mathrm{E.}}_{21.}$，乘以行$2$第一个矩阵按列$1$第二。

${\mathrm{E.}}_{21.}=\left[\begin{array}{rrr}\hfill 0.& \hfill 1& \hfill 2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{r}\hfill 3.\\ \hfill -1\\ \hfill 2\end{array}\right]=0.（3.）+1（-1）+2（2）=3.$

要得到${\mathrm{E.}}_{22.}$，乘以行$2$第一个矩阵按列$2$第二。

${\mathrm{E.}}_{22.}=\left[\begin{array}{rrr}\hfill 0.& \hfill 1& \hfill 2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{r}\hfill 5.\\ \hfill 0.\\ \hfill 1\end{array}\right]=0.（5.）+1（0.）+2（-1）=-2$

写作产品矩阵，我们得到：

$\left[\begin{array}{rr}\hfill {\mathrm{E.}}_{11.}& \hfill {\mathrm{E.}}_{12.}\\ \hfill {\mathrm{E.}}_{21.}& \hfill {\mathrm{E.}}_{22.}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}\hfill 5.& \hfill 4.\\ \hfill 3.& \hfill -2\end{array}\right]$

因此，我们已显示：

$\left[\begin{array}{rrr}\hfill 1& \hfill 0.& \hfill 1\\ \hfill 0.& \hfill 1& \hfill 2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{rr}\hfill 3.& \hfill 5.\\ \hfill -1& \hfill 0.\\ \hfill 2& \hfill -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}\hfill 5.& \hfill 4.\\ \hfill 3.& \hfill -2\end{array}\right]$