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ISEE高级定量:如何找到一个弧的长度

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例子问题

例子问题1:行业

镇广场上的钟有一根8英尺长的分针。如果现在是中午12点58分，它的尖头从中午走了多远?

可能的答案:

$47.2 \; \textrm{ft}$

$49.4 \; \textrm{ft}$

$50.2 \; \textrm{ft}$

$48.2 \; \textrm{ft}$

$48.6 \; \textrm{ft}$

正确答案:

$48.6 \; \textrm{ft}$

解释：

这个问题要求的是弧的长度对应于 $\frac{58}{60}$ 半径八英尺的圆。这个问题可以通过求值来回答 r=8 ：

$\frac{58}{60} \cdot 2 \pi r=\frac{58}{60} \cdot 2 \pi \cdot 8 \approx 48.6$

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例子问题1:如何求出弧的长度

注:图非按比例绘制

参照上图。 $\angle B \cong \angle C$

哪个量更大?

(一) $m \widehat{ABC}$

(b) $m \widehat{CAB}$

可能的答案:

(b)较大

(a)更大

从所给的信息是不可能知道的

(a)和(b)相等

正确答案:

从所给的信息是不可能知道的

解释：

比较 $m \widehat{ABC}$ 而且 $m \widehat{CAB}$ ，我们注意到

$m \widehat{ABC} = m \widehat{AB} + m \widehat{BC}$

而且

$m \widehat{CAB} = m \widehat{AB} + m \widehat{AC}$

我们需要能够进行比较 $m \widehat{BC}$ 而且 $m \widehat{AC}$ ．如果我们知道哪个截角更大，那么我们就知道哪条弧更大。截角是 $\angle A , \angle B$ ,分别。但是，我们没有得到这个关系。

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例子问题2:如何求出弧的长度

一个巨大的钟的分针有六英尺长。现在是下午3:50。从中午到现在，分针的尖端移动了多少英寸?

可能的答案:

正确答案不在这些选项中。

$552 \pi \textrm{ in}$

$138 \pi \textrm{ in}$

$1,104 \pi \textrm{ in}$

$276 \pi \textrm{ in}$

正确答案:

$552 \pi \textrm{ in}$

解释：

每一小时，分针的尖端绕一个半径为六英尺的圆周运动，也就是

$C = 2 \pi r= 2 \pi \cdot 6 = 12 \pi$ 的脚。

由于现在是下午3点50分，分针从中午开始整整转了三圈 $\frac{50}{60 } = \frac{5}{6}$ 第四个，所以它的尖端绕了这个圆周 $3\frac{5}{6}$ 次了。

这是

$3\frac{5}{6} \times 12 \pi = \frac{23}{6} \times 12 \pi = 46 \pi$ 的脚。这是

$46 \pi \times 12 = 552 \pi$ 英寸。

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例子问题3:如何求出弧的长度

一个巨大的钟有七英尺长的分针。哪个量更大?

(A)分针尖端在下午1:30和下午2:00之间走过的距离

(B)直径七英尺的圆的周长

可能的答案:

A和B相等

(A)更大

从所给的信息中不可能确定哪个更大

(B)更大

正确答案:

A和B相等

解释：

分针的尖端绕了一个圈，这个圈的半径等于分针的长度，在这个问题中，分针是7英尺长。这个圆的周长是 $2 \pi$ 乘以半径，或者 $2 \pi \times 7 = 14\pi$ 脚;在30分钟(或半小时)的过程中，分针的尖端走了这段距离的一半，或 $\frac{1}{2} \times 14 \pi = 7 \pi$ 的脚。

直径七英尺的圆的周长是 $\pi$ 乘以这个直径，或者 $7 \pi$ 的脚。

量是相等的。

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问题4:如何求出弧的长度

一个巨大的钟有一根4.5英尺长的分针。从中午开始，分针的尖端走了 $110 \pi$ 的脚。关于现在的时间，下列哪个选项是正确的?

可能的答案:

时间在晚上11点到11点半之间。

时间在凌晨1点到1点半之间。

时间在午夜12点到凌晨12点30分之间。

时间在凌晨12:30到凌晨1:00之间。

时间在晚上11点半到午夜12点之间。

正确答案:

时间在午夜12点到凌晨12点30分之间。

解释：

每一小时，分针的尖端绕一个圆的周长转一圈，也就是这里

$C = 2 \pi r = 2 \pi \times 4 \frac{1}{2} = 9 \pi$ 的脚。

分针已经走了 $110 \pi$ 脚从中午开始，就这样绕着圆周走了一圈

$\frac{110 \pi}{9 \pi} = \frac{110 }{9 } =12 \frac{2}{9}$ 次了。

自 $12 \leq 12 \frac{2}{9} \leq 12 \frac{1}{2}$ ， 12岁至 $12 \frac{1}{2}$ 从中午开始已经过去了几个小时，时间在午夜12点到凌晨12点30分之间。

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问题51:圈

锐角三角形 $\bigtriangleup ABC$ 写在一个圆里。哪个量更大?

(一) $m \overarc {ABC} - m \overarc {ACB}$

(b) $m \overarc {A B} - m \overarc {A C}$

可能的答案:

(a)为较大的量

(b)是较大的量

(a)和(b)相等

从所给的信息中不可能确定哪个更大

正确答案:

(a)和(b)相等

解释：

请看下面的图 $\bigtriangleup ABC$ 刻成圆的

圆周角

根据弧加法原理，

$m \overarc {ABC} = m \overarc {AB}+ m \overarc {BC}$

而且

$m \overarc {ACB} = m \overarc {AC}+ m \overarc {BC}$

因此,

$m \overarc {ABC} - m \overarc {ACB}$

$= (m \overarc {AB}+ m \overarc {BC} ) - ( m \overarc {AC}+ m \overarc {BC})$

$= m \overarc {AB}+ m \overarc {BC} - m \overarc {AC}- m \overarc {BC}$

$= m \overarc {A B} - m \overarc {A C}$

这两个量相等。

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