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数学II:多项式运算

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例子问题

例子问题2:简化多项式

减去下面的表达式。

$\left (\frac{1}{3}x^{2}+\frac{1}{6}xy-\frac{5}{4}y^{2} \right )-\left (\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}xy+y^{2} \right )$

可能的答案:

$\frac{2}{9}x^{2}+\frac{3}{2}xy-\frac{9}{4}y^{2}$

$\frac{2}{9}x^{2}+\frac{3}{2}xy-\frac{5}{4}y^{2}$

其他答案都不正确。

$\frac{2}{9}x^{2}+\frac{7}{6}xy-\frac{1}{4}y^{2}$

$\frac{1}{27}x^{2}-\frac{2}{9}xy-\frac{5}{4}y^{2}$

正确答案:

$\frac{2}{9}x^{2}+\frac{3}{2}xy-\frac{9}{4}y^{2}$

解释：

$\left (\frac{1}{3}x^{2}+\frac{1}{6}xy-\frac{5}{4}y^{2} \right )-\left (\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}xy+y^{2} \right )$

因为我们只做加法和减法(没有乘法或除法)，所以我们可以去掉括号。

$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{1}{6}xy-\frac{5}{4}y^{2}-\left \frac{1}{9}x^{2}+\frac{4}{3}xy-y^{2} \right$

重新组合表达式，使相似的变量在一起。记住要带正号和负号。

$(\frac{1}{3}x^{2}-\left \frac{1}{9}x^{2})+(\frac{1}{6}xy+\frac{4}{3}xy)-(\frac{5}{4}y^{2}-y^{2} \right)$

对于所有分数项，求出最小公倍数以便加减分数。

$(\frac{3}{9}x^{2}-\left \frac{1}{9}x^{2})+(\frac{1}{6}xy+\frac{8}{6}xy)-(\frac{5}{4}y^{2}-\frac{4}{4}y^{2} \right)$

合并类似的术语并简化。

$\frac{2}{9}x^{2}+\frac{9}{6}xy-\frac{9}{4}y^{2}$

$\frac{2}{9}x^{2}+\frac{3}{2}xy-\frac{9}{4}y^{2}$

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问题11:多项式操作

分 3x^3+5x^2-x+8 通过 x^2-1 ．

可能的答案:

$3x+5-\frac{2x+13}{x^2-1}$

$3x+5+\frac{2x+13}{x^2-1}$

$3x+5+\frac{x^2+1}{2x-13}$

$x^2-1-\frac{3x+5}{2x+13}$

$2x+13+\frac{3x+5}{x^2-1}$

正确答案:

$3x+5+\frac{2x+13}{x^2-1}$

解释：

首先，设置划分如下:

$\begin{array}{*2r @{\hskip\arraycolsep}c@{\hskip\arraycolsep} *4r} & && & & & \\ \cline{3-7} x^2 & -1 &\big)& 3x^3 & 5x^2 & -x & 8 \end{array}$

看看前面的项 x^2 除数和 3x^3 在红利中。分 3x^3 通过 x^2 给了；因此,把最上面:

$\begin{array}{*2r @{\hskip\arraycolsep}c@{\hskip\arraycolsep} *4r} & && 3x & & & \\ \cline{3-7} x^2 & -1 &\big)& 3x^3 & 5x^2 & -x & 8 \end{array}$

那就拿去吧然后乘以除数， x^2-1 ，以得到 3x^3-3x ．的地方, 3x^3-3x 除号下面:

$\begin{array}{*2r @{\hskip\arraycolsep}c@{\hskip\arraycolsep} *4r} & && 3x & & & \\ \cline{3-7} x^2 & -1 &\big)& 3x^3 & 5x^2 & -x & 8 \\ & && 3x^3 & -3x \end{array}$

再减去同样的红利 3x^3-3x 然后把结果放在底部。新的结果是 5x^2+2x+8 ，这是新的红利。

$\begin{array}{*2r @{\hskip\arraycolsep}c@{\hskip\arraycolsep} *4r} & && 3x & & & \\ \cline{3-7} x^2 & -1 &\big)& 3x^3 & 5x^2 & -x & 8 \\ & && 3x^3 & -3x \\ \cline{4-7} & && & 5x^2 & 2x & 8 \end{array}$

现在, 5x^2 是股利的新先导项。分 5x^2 通过 x^2 给了5。因此，把5放在最上面:

$\begin{array}{*2r @{\hskip\arraycolsep}c@{\hskip\arraycolsep} *4r} & && 3x & 5 & & \\ \cline{3-7} x^2 & -1 &\big)& 3x^3 & 5x^2 & -x & 8 \\ & && 3x^3 & -3x \\ \cline{4-7} & && & 5x^2 & 2x & 8 \end{array}$

5乘以除数，然后把结果， 5x^2-5 ，在最下面:

执行通常的减法:

因此答案是 3x+5 剩下的 2x+13 ,或 $3x+5+\frac{2x+13}{x^2-1}$ ．

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例子问题1:多项式运算

下列哪个是质因数 $n^{4} - 32n^{2} +256$ ?

可能的答案:

$n^{2} -4n + 16$

$n^{2} -4n - 16$

$n^{2} + 4n + 16$

$n^{2} + 4n - 16$

其他的答案都不正确。

正确答案:

其他的答案都不正确。

解释：

$n^{4} - 32n^{2} +256$ 是否符合这个模式

$A ^{2} - 2AB + B^{2}$ ：

$n^{4} - 32n^{2} +256 = \left (n^{2} \right ) ^{2}- 2 \cdot n^{2} \cdot 16 + 16 ^{2}$

在哪里 $A = n^{2} , B = 16$

$A ^{2} - 2AB + B^{2}$ 可以因式分解为 $(A-B ) ^{2}$ ,所以

$n^{4} - 32n^{2} +256 = \left (n^{2} \right ) ^{2}- 2 \cdot n^{2} \cdot 16 + 16 ^{2} =\left ( n ^{2} - 16 \right )^{2}$

$n^{2} - 16 = n^{2} - 4^{2}$ ，使之为平方差，因式分解如下:

$n^{2} - 16 = n^{2} - 4^{2} = (n + 4) (n - 4)$

因此,

$n^{4} - 32n^{2} +256 = \left ( n ^{2} - 16 \right )^{2} = (n+4) ^{2} (n-4) ^{2}$

多项式只有两个素数因子，每个素数因子的平方，都不在选项中出现。

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例子问题2:多项式运算

分:

$\left ( 40x^{3} - 24x^{2}+ 20x- 64\right ) \div 8 x^{2}$

可能的答案:

$5x-3 - \frac{8}{x}+ \frac{ 5}{ 2x^{2} }$

$5x^{2} -3+ \frac{ 5}{ 2x^{2} } - \frac{8}{x^{3} }$

$5x-3+ \frac{ 5}{ 2x^{2} } - \frac{8}{x^{3} }$

$5x-3 - \frac{8}{x^{2}}+ \frac{ 5}{ 2x^{3} }$

$5x-3+ \frac{ 5}{ 2x } - \frac{8}{x^{2} }$

正确答案:

$5x-3+ \frac{ 5}{ 2x } - \frac{8}{x^{2} }$

解释：

将逐项地:

$\left ( 40x^{3} - 24x^{2}+ 20x- 64\right ) \div 8 x^{2}$

$= \frac{40x^{3} - 24x^{2}+ 20x- 64}{ 8 x^{2}}$

$= \frac{40x^{3} }{ 8 x^{2}}- \frac{ 24x^{2}}{ 8 x^{2}}+ \frac{ 20x}{ 8 x^{2}}- \frac{ 64}{ 8 x^{2}}$

$= \frac{40 }{ 8}x^{3-2}- \frac{ 24}{ 8 }+ \frac{ 20x}{ 8 } \cdot \frac{1}{x^{2-1}}- \frac{ 64}{8 }\cdot \frac{1}{x^{2} }$

$=5x-3+ \frac{ 5}{ 2 } \cdot \frac{1}{x}- 8 \cdot \frac{1}{x^{2} }$

$=5x-3+ \frac{ 5}{ 2x } - \frac{8}{x^{2} }$

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例子问题3:多项式运算

因素:

$27N^{3}-1,331$

可能的答案:

$(3N - 11)(9N^{2}+33N+121)$

$(3N - 11)(3N+11)^{2}$

$(3N - 11)(9N^{2}+121)$

$(3N - 11)^{3}$

多项式是质数。

正确答案:

$(3N - 11)(9N^{2}+33N+121)$

解释：

$27N^{3}-1,331$ 可以改写为 $(3N)^{3} - 11^{3}$ 因此是两个立方体的差。因此，可以使用模式对其进行分解

$A^{3}-B^{3} =(A-B) (A^{2}+AB +B^{2})$

在哪里 A = 3N, B = 11 ．

$27N^{3}-1,331$

$=(3N)^{3} - 11^{3}$

$= (3N-11)[(3N)^{2}+3N\cdot 11 +11^{2}]$

$= (3N-11)(9N^{2}+33N +121)$

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问题4:多项式运算

完全的因素:

$t^{3} + 512$

可能的答案:

$(t- 8) (t^{2}-8t-64)$

$(t+ 8) ^{3}$

$(t+ 8) (t^{2}-8t+64)$

$(t+ 8) (t-8)^{2}$

多项式是质数。

正确答案:

$(t+ 8) (t^{2}-8t+64)$

解释：

因为这两项都是完全立方 $\left (512= 8^{3} \right )$ ，我们要利用的因式分解模式是立方体和模式。这个模式是

$A^{3}+ B^{3} = (A + B) (A^{2}-AB +B^{2})$

我们的替代品为8：

$t^{3} + 512= t^{3} + 8^{3}$

$= (t+ 8) (t^{2}-t \cdot 8+8^{2})$

$= (t+ 8) (t^{2}-8t+64)$

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例子问题1:多项式运算

完全的因素:

$t^{3} -225$

可能的答案:

$(t -1)(t^{2}-15t - 225)$

$(t - 15)(t^{2}-15t - 15)$

$(t + 15)(t^{2}-15t + 15)$

多项式是质数。

$(t + 1)(t^{2}-15t + 225)$

正确答案:

多项式是质数。

解释：

由于第一项是完美立方，我们要利用的分解模式是立方模式的差异。然而，225不整数的完全立方 $\left (6^{3} = 216 < 225 < 7^{3} = 343 \right )$ ，因此不能应用分解模式。没有其他模式，所以多项式是质数。

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