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高中数学:理解算术和几何级数

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例子问题

例子问题1:等比级数

评估: $1 - \frac{2}{3} + \frac{4}{9} - \frac{8}{27} + ...$

可能的答案:

$\frac{5}{3}$

其他答案都不正确。

$\frac{2}{5}$

$\frac{3}{5}$

正确答案:

$\frac{3}{5}$

解释：

这个和可以用带有初始项的无穷几何级数的和的公式来确定 $a_{0} = 1$ 公比 $r = -\frac{2}{3}$ ：

$S = \frac{a_{0}} {1-r} = \frac{1} {1- \left ( -\frac{2}{3}\right ) } = \frac{1} {1+ \frac{2}{3} }= \frac{1} { \frac{5}{3} } =\frac{3}{5}$

例子问题1:序列与序列

等差数列的第四项是-20，第八项是-10。数列的第100项是什么?

可能的答案:

110

105

210

220

55

正确答案:

220

解释：

等差数列是在连续的数之间有一个共同的差。例如，数列{2,5,8,11}是等差数列，因为每一项都可以通过在它前面的项上加3来找到。

让 $a_{n}$ 表示数列的第n项。一般等差数列可用下式表示:

a_n=a_1 +(n-1)d ，其中d是连续两项的公差。

我们已知数列中的第4项和第8项，所以我们可以写出以下方程:

a_4=a_1+(4-1)d=a_1+3d=-20

a_8=a_1+(8-1)d=a_1+7d=-10 ．

我们现在有了一个由两个方程和两个未知数组成的方程组:

a_1+3d=-20

a_1+7d=-10

让我们通过减去方程来解这个方程组 a_1+7d=-10 从方程中 a_1+3d=-20 ．这个减法的结果是

-4d=-10 ．

这意味着d = 2.5。

使用方程 a_1+7d=-10 ，我们可以找到数列的第一项。

a_1+7(2.5)=-10

a_1=-27.5

最后，我们被要求找出数列的第100项。

$a_{100}=a_1+(100-1)d=-27.5+99(2.5)=220$

答案是220。

例子问题1:序列与序列

如果可能，求和:

$3+1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+...$

可能的答案:

$\frac{3}{2}$

$\frac{9}{2}$

正确答案:

$\frac{9}{2}$

解释：

无穷几何级数的和的公式是

$S= \frac{a_1}{1-r}$ ，

在哪里 a_1 级数的第一项是和吗是连续项之间的变化率。这里的关键是找到两项之间的比率或模式。因为这是一个几何序列，速率是每个新项相乘的常数。

代入我们的价值观，我们得到:

$S = \frac{3}{1-\frac{1}{3}}$

$S=\frac{3}{\frac{2}{3}}$

$S = \frac{9}{2}$

例子问题2:序列与序列

如果可能，求和:

$8-6+\frac{9}{2}-\frac{27}{8}+...$

可能的答案:

$\frac{34}{7}$

$\frac{26}{7}$

$\frac{30}{7}$

$\frac{32}{7}$

$\frac{28}{7}$

正确答案:

$\frac{32}{7}$

解释：

无穷几何级数的和的公式是

$S= \frac{a_1}{1-r}$ ，

在哪里 a_1 级数的第一项是和吗是一系列中连续项之间的变化率吗

因为这些项的符号互换了，我们知道速率一定是负的。

代入我们的价值观，我们得到:

$S = \frac{8}{1-(\frac{-3}{4})}$

$S = \frac{8}{\frac{7}{4}}$

$S = \frac{32}{7}$

例子问题1:序列与序列

如果可能，求和:

1-3+9-27+...

可能的答案:

6725

5267

没有解决方案

2765

7625

正确答案:

没有解决方案

解释：

无穷几何级数的和的公式是

$S= \frac{a_1}{1-r}$ ，

在哪里 a_1 级数的第一项是和吗是一系列中连续项之间的变化率。

为了让一个无限几何级数有一个和，需要大于小于,即 -1<r<1 ．

自 r=-3 ，没有解决办法。

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