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高中数学:寻找无穷级数的和

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例子问题

例子问题1:无穷级数的和

找到的值 $\sum_{i=0}^{\infty} (\frac{1}{2})^i$

可能的答案:

1.25

1.5

正确答案:

解释：

为了更好地理解，我们把级数写出来。所以

$\sum_{i=0}^{\infty} (\frac{1}{2})^i = 1+1/2+(1/2)^2 + (1/2)^3+...+(1/2)^\infty$

我们可以看到这是一个无限几何级数每一项都乘以 $\frac{1}{2}$ ．

你可能希望记住的一个定义是

$1+r+r^2+r^3+... +r^\infty= 1/(1-r)$ 在哪里表示数字之间的公比，在本例中为 $\frac{1}{2}$ 或．所以我们得到

1/(1-r) = 1/(1-.5) = 1/.5 = 2

报告错误

例子问题2:无穷级数的和

评估:

$1 + \frac{1}{7} + \frac{1}{49} + \frac{1}{343} +...$

可能的答案:

$\frac{7}{6}$

$\frac{4}{3}$

$\frac{6}{5}$

$\frac{9}{8}$

级数不收敛。

正确答案:

$\frac{7}{6}$

解释：

这是一个几何级数，它的第一项是 $a_{0} = 1$ 它们的公比是 $r = \frac{1}{7}$ ．这个级数的和是:

$\frac{a_{0}}{1-r} = \frac{1}{1- \frac{1}{7} } = \frac{1}{\frac{7}{7}- \frac{1}{7}}= \frac{1}{\frac{6}{7}} =\frac{7}{6}$

报告错误

例子问题1:无穷级数的和

评估:

$1 - \frac{1}{6} + \frac{1}{36} - \frac{1}{216} +...$

可能的答案:

$\frac{2}{3}$

级数不收敛。

$\frac{7}{8}$

$\frac{6}{7}$

$\frac{4}{5}$

正确答案:

$\frac{6}{7}$

解释：

这是一个几何级数，它的第一项是 $a_{0} = 1$ 它们的公比是 $r = - \frac{1}{6}$ ．这个级数的和是:

$\frac{a_{0}}{1-r} = \frac{1}{1- \left (- \frac{1}{6} \right )} = \frac{1}{\frac{6}{6}+ \frac{1}{6}}= \frac{1}{\frac{7}{6}} =\frac{6}{7}$

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