通过画出方程，我们可以看到在，曲线在这个点附近继续向两个方向上升，所以这一定是局部最小值。我们还知道图形在两个方向上都无限上升，所以这一定是唯一的局部最小值。

另一种识别局部极小值的方法是对函数求导并使其为零。

利用幂次法则，

我们发现导数是，

．

从这里我们将导数设为零并解出x，通过这样做，我们将确定函数的临界值

现在我们代入x值并在原始方程中找到对应的y值。我们还会代入一个比临界值小的x值和一个比临界值大的x值来确认我们得到的是局部极小值还是最大值。

因为两个x值的y值都比对应的y值大我们知道最小值在．

函数的导数为0的点称为临界点。它们要么是局部最大值，要么是局部最小值，要么不存在。的导数是．函数的导数是

．

我们现在必须把它设为零，然后因式求解。

现在我们必须把临界点左右的点代入导数函数来求局部最小值。

这意味着函数会一直增长，直到x=2，然后下降，直到x=4，然后再次开始增长。这使得x=4是局部最小值

函数的局部最大值和最小值是函数切线的斜率为0的地方。要求这条切线的斜率，必须先求导数。然后我们必须让ot = 0，然后解。的导数是．

临界点在以上两点。为了找到最小值，我们必须把两者都代回原来的函数。

因此，局部最小值在x=-2处。

要找到函数的最小值，首先要找到函数的临界点，或者说导数为零的点。用幂次法则求导数:

将幂次法则应用于给定的方程，注意第一项和第二项中的常数:

然后检查临界点是最大值，最小值，还是拐点通过求二阶导数，再次使用幂法则。

因为二阶导数是正的，临界点是一个最小值。

为了找到最小值出现的点，代入回到原来的方程，解出来．

因此，最小值为

函数的局部最小值可以通过求导和作图得到。与x轴相交的点下面给出找到局部最小值的x位置。求导:

导数曲线如下图所示:

如图所示，在x = -4处找到了局部最小值。