通过画出方程，我们可以看到最小值在，并且图在这一点周围的两个方向上都继续上升，所以这一定是一个局部极小值。我们还知道图像在两个方向上无限上升，所以这一定是唯一的局部最小值。

另一种识别局部极小值的方法是对函数求导并使其等于零。

利用幂法则，

我们发现它的导数是，

．

从这里我们设导数为0并求解x。通过这样做，我们将确定函数的临界值

现在我们代入x值并在原方程中求出相应的y值。我们还将插入一个低于临界值的x值和一个高于临界值的x值，以确认我们是否有局部极小值或极大值。

因为两个x值的y值都大于对应的y值，我们知道最小值发生在．

函数导数为0的点称为临界点。它们要么是局部极大值，要么是局部极小值，要么不存在。的导数是．函数的导数是

．

现在我们必须使它等于零，然后分解。

现在我们必须把临界点左右的点代入导数函数来求局部最小值。

这意味着函数是递增的，直到它达到x=2，然后它递减，直到它达到x=4，然后又开始递增。这使得x=4成为局部最小值

函数的局部极大值和最小值是函数切线的斜率为0的地方。为了求出切线的斜率我们必须求出它的导数。那么我们必须令ot等于0并求解。的导数是．

临界点在以上两点。为了找到最小值，我们必须把它们都代回原函数中。

因此局部最小值在x=-2处。

要找到一个函数的最小值，首先要找到该函数的临界点，即导数为零的点。用幂法则求导数:

将幂法则应用于给定的方程，注意第一项和第二项中的常数:

然后通过再次使用幂次法则求二阶导数来检查临界点是否为最大值、最小值或拐点。

因为二阶导数是正的，临界点是最小值。

为了找到最小值的点，代入回到原来的方程，解出．

因此，最小值为

函数的局部最小值可以通过求导和绘图来求得。x轴的交点下面给出了找到局部最小值的x位置。求导:

导数曲线如下图所示:

如图所示，局部最小值在x = -4处。