例子问题
例子问题1:简谐运动
一个质量为1kg的物体垂直悬挂在一个常数为的弹簧上.如果木块被拉到超过平衡位置1.5米后释放,木块通过平衡位置返回时的速度是多少?
这个问题是关于弹簧形式的能量守恒问题。能量守恒公式为:
我们可以消去初始动能得到
在这个问题中我们有两种形式的势能引力和弹簧。因此,我们可以将表达式重写为:
没有初始重力势能也没有最终弹簧势能。把势能和动能的表达式代入,我们得到:
重新排列最终速度,我们得到:
原来的位移(与).
我们有了所有的值,所以我们可以解出:
例子问题1:简谐运动
一个常数为的弹簧挂在电梯的天花板上。一个质量为1kg的块连接在弹簧的末端。如果电梯开始以,弹簧的平衡位置会移多远?
在电梯开始加速之前,物体的重量为:
当电梯加速时,物体的重量为:
现在我们可以说,木块的重量有效地增加了2N。
我们可以用这个力的增加来求出平衡位置会移动多少:
重新排列x(位移),我们得到:
例子问题1:简谐运动
一个常数为的水平弹簧是在无摩擦的表面上。如果大量的弹簧的最大加速度为它的最大速度是多少?
我们知道弹簧的最大加速度发生在它的最大位移时。此时,我们可以写出块所受力的表达式:
重新排列距离,我们得到:
这也是弹簧储存最大势能的点:
我们可以将重新排列的距离方程代入势能方程:
我们还知道,当弹簧处于平衡点时,它的最大速度出现。由于弹簧在无摩擦表面,我们可以说它在这一点的动能等于最大势能:
插入这些变量的表达式:
根据速度重新排列:
我们知道所有的值,所以我们可以插进去:
例子问题1:弹簧
弹簧常数为的水平弹簧坐在桌子上,有一大堆附在一端的物体与工作台之间的动摩擦系数为.如果弹簧被拉伸到过了平衡点并释放,物体经过平衡点的次数是多少?
从问题表述中,我们可以计算出弹簧最初储存了多少势能。由于我们忽略了空气阻力,我们可以说,当系统停止时,所有这些能量都通过摩擦损失了。
计算初始势能:
然后我们可以写出物体摩擦力的表达式:
然后我们可以写出摩擦力做的功的表达式:
设它等于初始势能:
因此,物体在静止前总共移动了20米的距离。我们知道弹簧的最大压缩和最大拉伸之间的距离是4米。因此,我们可以说,质量从一个最大位移移动到其他5次,每次通过一次平衡。质量经过平衡点5次。
例子问题1:简谐运动
弹簧常数为的弹簧被压缩过了平衡点。如果内摩擦导致的平均功率损失为,弹簧被释放后振荡多长时间,直到它静止?
我们可以根据题目中给出的,计算出弹簧的初始势能:
假设弹簧的唯一能量损失是通过内摩擦,我们可以这样写:
例子问题6:圆周运动,旋转运动和调和运动
一个积木从桌子上掉下来,以速度与地板上的弹簧碰撞.弹簧的弹簧常数为.当物体的速度是多少时,弹簧被压缩了多少?
这个问题可以用能量守恒来解决。物体最初的动能等于:
当物体的速度为零时,所有的动能都转化为弹簧势能。
示例问题7:圆周运动,旋转运动和调和运动
0.25kg的均匀质量固定在0.5kg的胡克弹簧上。当质量/弹簧系统从平衡处拉伸1cm时,需要3N的力才能将质量固定在适当的位置。如果偏离平衡的位移是原来的两倍,保持系统稳定所必需的力也会加倍__________.
增加2倍
增加4倍
保持不变
增加一倍
增加2倍
由于弹簧是胡克式的,由质量平衡产生的力与位移之间的关系可以用胡克定律表示:
由于这个方程是线性的,力和位移成正比。因此,当位移加倍时,力也加倍。
例8:圆周运动,旋转运动和调和运动
假设一个10公斤重的物体沿着无摩擦的水平表面以速度滑动当它突然撞击并压缩弹簧时。如果这个弹簧的弹簧常数是,弹簧被压缩的最大长度是多少?
为了找到这个问题的答案,我们需要考虑物体与弹簧碰撞之前的情况,以及碰撞之后的情况。在碰撞之前,物体的所有能量都是以动能的形式存在的。
碰撞时,弹簧会被运动物体压缩。然而,最大位移发生在物体停止运动的瞬间。在这一点上,物体将不再有动能,因为它停止了运动。此外,所有的能量现在都转移到弹簧中,并被保存为弹簧势能。
同样,因为我们在题干中被告知,没有摩擦力,我们有一个机械能守恒的情况。换句话说,我们可以把初始能量和最终能量相等联系起来。
令这两个方程相等,求出最大位移。
例子问题1:弹簧
弹簧常数的单位是什么胡克定律?
胡克定律是:
在这里单位是米和单位是牛顿。
解出要看单位是什么:
这意味着弹簧常数的单位,是:
在确定单位时,我们可以忽略负号,因为负号只表示力的方向。
例子问题10:圆周运动,旋转运动和调和运动
弹簧被压缩到最小点,然后释放。假设有一个摩擦力来抵消弹簧的运动。如果我们要创建一个模型来绘制位置随着时间的推移,下列哪一项适用于此系统?假设在,在最小值处。
为了确定使用哪种类型的正弦信号,我们必须看看它的起点和它的去向。它从最小值开始,然后向极大值移动。我们可以使用的最简单的模型是负余弦模型,它不需要相移。
在,将会是最小值。
然而,也有一个相互抵消的摩擦力,随着时间的推移使弹簧的振幅减小。一种方法是添加an在余弦前面,所以随着时间的推移,振幅会越来越小。
唯一合适的模型是