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三角函数:应用基本恒等式和定义恒等式

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例子问题

例子问题1:应用基本标识和定义标识

下列哪个三角恒等式是错误的?

可能的答案:

$sin (x) = \frac{1}{csc (x)}$

$sec (x) = \frac{1}{cos (x)}$

$tan (x) = \frac{sin (x)}{cos (x)}$

$cos (x)= \frac{1}{sin (x)}$

$cot (x) = \frac{cos (x)}{sin (x)}$

正确答案:

$cos (x)= \frac{1}{sin (x)}$

解释：

余弦和正弦不是倒数函数。

$sin (x) = \frac{1}{csc (x)}$ 而且 $cos (x) = \frac{1}{sec (x)}$

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问题#742:三角函数

使用三角恒等式证明以下是否有效:

$\frac{\csc^{2}A}{\sec^{2}A} = \cot^{2}A$

可能的答案:

真正的

仅在以下范围内: $0< A < \frac{\pi}{2}$

不确定的

仅在以下范围内: $0 < A < 2\pi$

假

正确答案:

真正的

解释：

我们从方程的左边开始，利用基本的三角恒等式，首先将反函数转换为它们对应的基函数:

$\frac{\frac{1}{\sin^{2}A}}{\frac{1}{\cos^{2}A}} = \cot^{2}A$

接下来我们重写分数除法，以便简化方程:

$\frac{1}{\sin^{2}A}\div\frac{1}{\cos^{2}A} = \cot^{2}A$

在小数除法中，我们乘以倒数如下:

$\frac{1}{\sin^{2}A}\times \cos^{2}A = \cot^{2}A$

如果我们用基本恒等式来减少分数，我们可以看到等价性得到了证明:

$\frac{\cos^{2}A}{\sin^{2}A} = \cot^{2}A$

$\cot^{2}A = \cot^{2}A$

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例子问题2:应用基本标识和定义标识

下列哪个身份是错误的?

可能的答案:

$\small \csc(-x)=-\csc(x)$

$\mathrm{cos}(-x)=-\mathrm{cos}(x)$

$\small \sec(-x)=\sec(x)$

$\small \tan(-x)=-\tan(x)$

$\small \sin(-x)=-\sin(x)$

正确答案:

$\mathrm{cos}(-x)=-\mathrm{cos}(x)$

解释：

真正的身份是 $\small \cos(-x)=\cos(x)$ 因为cos是偶函数。

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示例问题3:应用基本标识和定义标识

状态 $\tan x$ 用sin和cos来表示。

可能的答案:

$\frac{1}{\sin x \cos x}$

$\frac{\cos x}{\sin x}$

$1+\sin x$

$\sin x \cos x$

$\frac{\sin x}{\cos x}$

正确答案:

$\frac{\sin x}{\cos x}$

解释：

正切的定义是sin除以cos。

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$

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问题#745:三角函数

简化。

$\sin(-x)\cos(-x)\tan(-x)$

可能的答案:

$-\sin x\cos x$

$-\tan^2 x$

$-\sin^2 x$

$\sin^2 x$

$\tan^2 x$

正确答案:

$\sin^2 x$

解释：

使用这些基本标识:

$\sin(-x)=-\sin x$

$\cos(-x)=\cos(x)$

$\tan(-x)=-\tan x$

我们发现原来的表达式是

$(-\sin x)(\cos x)(-\tan x)$

它简化了

$\sin x\cos x\tan x$ ．

进一步简化:

$\sin x\cos x\frac{\sin x}{\cos x}$

余弦消掉了，得到

$\sin ^2 x$

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问题#746:三角函数

以下哪一项是最好的答案 $cos^2(\theta)$ ?

可能的答案:

$-sec^2(\theta)$

$tan^2(\theta)-1$

$1-sin^2(\theta)$

$-cot^2(\theta)$

$-sin^2(\theta)$

正确答案:

$1-sin^2(\theta)$

解释：

写出毕达哥拉斯恒等式。

$sin^2(\theta)+cos^2(\theta)=1$

减 $sin^2(\theta)$ 两边。

$cos^2(\theta)=1-sin^2(\theta)$

其他的答案都是错误的。

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例子问题747:三角函数

表达 $\frac{1}{\sec x \csc x \tan x}$ 用sin和cos表示。

可能的答案:

$\cos x \sin^2 x$

$\frac{\sin^2 x}{\cos x}$

$\cos^2 x$

$\sin^2x$

$\sin x \cos^2 x$

正确答案:

$\cos^2 x$

解释：

正确答案是 $\cos^2 x$ ．首先用 $\frac{1}{\sec x}=\cos x$ ， $\frac{1}{\csc x}=\sin x$ , $\frac{1}{\tan x}=\frac{\cos x}{\sin x}$ ．这给了我们:

$\frac{1}{\sec x\csc x\tan x}=\frac{\cos x\sin x\cos x}{\sin x}=\cos^2 x$ ．

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问题#748:三角函数

表达 $\sec x\tan x+\frac{\cot x}{\csc x}$ 用sin和cos表示。

可能的答案:

$\frac{\sin x}{\cos^2 x}+\frac{\cos x}{\sin^2 x}$

$\cos x +1$

$\frac{\sin x}{\cos^2 x}+\cos x$

$\frac{\sin x}{\cos^2 x}+\cos x\sin^2 x$

$\sin x +1$

正确答案:

$\frac{\sin x}{\cos^2 x}+\cos x$

解释：

要解决这个问题，可以使用恒等式 $\sec x =\frac{1}{\cos x}$ ， $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ ， $\cot x =\frac{\cos x}{\sin x}$ , $\frac{1}{\csc x}=\sin x$ ．然后我们得到

$\sec x\tan x+\frac{\cot x}{\csc x}$

$=\frac{1}{\cos x}\cdot \frac{\sin x}{\cos x}+\sin x\cdot \frac{\cos x}{\sin x}$

$=\frac{\sin x}{\cos^2 x}+\cos x$

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