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SSAT高级数学:三维图形的体积

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例子问题

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例子问题151:几何

一个汽车经销商想用氦气填充一个巨大的球形广告气球。它可以买1000立方码的氦气来填满这个气球。那个气球可能的最大直径是多少(最接近的十分之一码)?

可能的答案:

$6.2 \;\textrm{yd}$

$12.4 \;\textrm{yd}$

$7.7 \;\textrm{yd}$

$9.3 \;\textrm{yd}$

$15.4 \;\textrm{yd}$

正确答案:

$12.4 \;\textrm{yd}$

解释：

球面的体积，在半径的条件下，为

$V = \frac{4\pi r^{3}}{3}$

集 V = 1,000 ,解决然后翻倍得到直径。

$1,000= \frac{4\pi r^{3}}{3}$

$r^{3} = \frac{1,000 \cdot 3 }{4\pi} \approx 238.7$

$r \approx \sqrt[3]{238.7} \approx 6.2$

直径是这个的两倍，也就是12.4码。

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例子问题1:一个三维图形的体积

球体的直径是．给出球体的体积．

可能的答案:

$72\pi t^3$

$10\pi t^3$

$24\pi t^3$

$30\pi t^3$

$36\pi t^3$

正确答案:

$36\pi t^3$

解释：

球体的直径是所以球的半径是 $6t\div 2=3t$

球体所包围的体积由公式给出:

$Volume=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi \times (3t)^3=\frac{4}{3}\pi\times 27t^3\Rightarrow Volume=36\pi t^3$

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问题492:8年级

一个球形气球的直径是10米。给出气球的体积。

可能的答案:

1000m^3

1023.3m^3

723.3m^3

500m^3

523.6m^3

正确答案:

523.6m^3

解释：

球体所包围的体积由公式给出:

$Volume=\frac{4}{3}\pi r^3$

在哪里是球面的半径。气球的直径是10米，所以球体的半径是 $10\div 2=5$ 米。现在我们可以得到:

$Volume=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi\times 5^3=\frac{4}{3}\times \pi \times 125\approx 523.6 m^3$

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示例问题3:一个三维图形的体积

球体的体积是1000立方英寸。球面的直径是多少?

可能的答案:

$16.4\ inches$

$12.4\ inches$

$10.4\ inches$

$10\ inches$

$12\ inches$

正确答案:

$12.4\ inches$

解释：

球体的体积为:

$Volume=\frac{4}{3}\pi r^3$

在哪里是球面的半径。我们知道体积，可以解出公式：

$Volume=\frac{4}{3}\pi r^3=1000\Rightarrow r^3=\frac{3\times1000 }{4\pi}\approx 238.85\Rightarrow r\approx 6.2$ 英寸

所以我们可以得到:

$Diameter=2r=2\times 6.2=12.4inches$

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示例问题4:一个三维图形的体积

球体的直径是英寸。这个球体的体积是多少?

可能的答案:

104.7 in^3

458.3 in^3

523.6 in^3

632.9 in^3

正确答案:

523.6 in^3

解释：

求球体的体积，用下面的公式:

$\text{Volume}=\frac{4}{3}\pi\times r^3$ ,在那里是球面的半径。

现在，因为我们已知了球的直径，把这个值除以一半就能求出半径。

$r=10\div2=5$

现在，把这个值代入体积方程。

$\text{Volume}=\frac{4}{3}\pi\times 5^3$

$\text{Volume}=\frac{4}{3}\pi\times 125$

$\text{Volume}=\frac{500}{3}\pi=523.6$ in^3

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示例问题5:一个三维图形的体积

直径为多少的球体的体积是多少?

可能的答案:

$200\pi$

$100\pi$

$\frac{500}{3}\pi$

$150\pi$

$\frac{100}{3}\pi$

正确答案:

$\frac{500}{3}\pi$

解释：

写出球体体积的公式。

$V=\frac{4}{3}\pi r^3$

半径是直径的一半，也就是5。替代的价值。

$V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi (5)^3=\frac{4}{3}\pi (125)= \frac{500}{3}\pi$

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例子问题1:一个三维图形的体积

球体的体积是多少直径12英尺吗?

可能的答案:

$3,619.1\;ft^{2}$

$452.4\;ft^{3}$

其他的答案都不对

$904.8 ft^{3}$

$7,238.2\;ft^{3}$

正确答案:

$904.8 ft^{3}$

解释：

球体的半径是直径的一半，即6英尺;用公式

$V= \frac{4}{3} \pi r^{3}$ ．

设置 r=6 ：

$V= \frac{4}{3} \pi \cdot 6^{3} \approx904.8 ft^{3}$

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例子问题1:了解并使用锥体、圆柱体和球体体积的公式

板栗木的密度约为 $0.45\frac{g}{cm^3}$ ．栗木做的右圆锥体高3米，底座半径为2米。它的质量以千克为单位是多少(最接近的整千克)?

可能的答案:

$5,655 \; \textrm{kg}$

$6,055 \; \textrm{kg}$

$5,755 \; \textrm{kg}$

$5,955 \; \textrm{kg}$

$5,855 \; \textrm{kg}$

正确答案:

$5,655 \; \textrm{kg}$

解释：

首先，通过乘以将尺寸转换为立方厘米 100 :圆锥有高度 300cm ，底有半径 200cm ．

$3m*\frac{100cm}{1m}=300cm\ \ \2m*\frac{100cm}{1m}=200cm$

利用公式和换算后的高度和半径求出其体积。

$V=\frac{1}{3} \pi r^{2}h$

$V=\frac{1}{3} \pi (200cm)^{2} ( 300cm )\approx 12,566,371 \; \textrm{cm}^{3}$

现在把它乘以 $0.45\frac{g}{cm^3}$ 得到质量。

$m=V*\rho$

$12,566,371cm^3*0.45\frac{g}{cm^3} \approx 5,654,867g$

最后，将答案转换为千克。

$5654867g *\frac{1kg}{1,000g} \approx 5,655kg$

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例子问题2:了解并使用锥体、圆柱体和球体体积的公式

一个圆锥体的高度为4米，圆底面积为4平方米。如果我们想用水填充圆锥体(密度= $1000\frac{Kg}{m^3}$ )，所需水的质量是多少(最接近整公斤)?

可能的答案:

10,000

2133

6333

4333

5333

正确答案:

5333

解释：

圆锥的体积为:

$Volume=\frac{1}{3}\pi r^2h$

在哪里圆底的半径，和是高度(从底面到顶点的垂直距离)。

圆底面积是 $\pi r^2$ ，那么我们可以将体积公式改写为:

$Volume =\frac{A\times h}{3}$

在哪里是圆底面积，在这个问题中已知。所以我们可以写:

$Volume =\frac{A\times h}{3}=\frac{4\times 4}{3}=\frac{16}{3}\approx 5.333 m^3$

我们知道密度被定义为单位体积的质量或:

$\rho =\frac{m}{v}$

在哪里 $\rho$ 是密度;是质量是体积。所以我们得到:

$m=\rho v=1000\times 5.333=5333 Kg$

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示例问题3:了解并使用锥体、圆柱体和球体体积的公式

右锥体的垂直高度(或高度)为．圆锥圆底的半径为．求出圆锥体的体积．

可能的答案:

$\frac{1}{3}\pi t^3$

$\frac{2}{3}\pi t^2$

$\frac{1}{3}\pi t^2$

$\frac{2}{3}\pi t^3$

$\pi t^3$

正确答案:

$\frac{2}{3}\pi t^3$

解释：

圆锥的体积为:

$Volume=\frac{1}3{}\pi r^2h$

在哪里圆底的半径，和是高度(从底面到顶点的垂直距离)。

$Volume=\frac{1}3{}\pi r^2h =\frac{1}3{}\pi t^2\times 2t=\frac{2}{3}\pi t^3$

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