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SSAT高级数学:三维图形的体积

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例子问题

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问题5:如何求多面体的体积

求边长为的正四面体的体积．

可能的答案:

$1728\sqrt2$

$144\sqrt2$

$966\sqrt2$

$288\sqrt2$

正确答案:

$144\sqrt2$

解释：

计算四面体体积的公式是

$\text{Volume}=\frac{\sqrt2}{12}(side)^3$

把题目给出的信息代入

$\text{Volume}=\frac{\sqrt2}{12}(12)^3=144\sqrt2$

问题6:如何求多面体的体积

求边长为的正八面体的体积．

可能的答案:

$100\sqrt2$

$\frac{512\sqrt2}{3}$

$512\sqrt2$

$\frac{500\sqrt2}{3}$

正确答案:

$\frac{512\sqrt2}{3}$

解释：

用下面的公式计算正八面体的体积:

$\text{Volume}=\frac{\sqrt2}{3}(side)^3$

代入题目中的信息，

$\text{Volume}=\frac{\sqrt2}{3}(8)^3=\frac{512\sqrt2}{3}$

问题#641:几何

求边长为的正八面体的体积．

可能的答案:

$216y^3\sqrt2$

$144y^3\sqrt2$

$84y^3\sqrt2$

$72y^3\sqrt2$

正确答案:

$72y^3\sqrt2$

解释：

用下面的公式计算正八面体的体积:

$\text{Volume}=\frac{\sqrt2}{3}(side)^3$

代入题目中的信息，

$\text{Volume}=\frac{\sqrt2}{3}(6y)^3=72y^3\sqrt2$

问题8:如何求多面体的体积

求边长为的正六面体的体积．

可能的答案:

2744

$\frac{2744\sqrt2}{3}$

196

$1372\sqrt3$

正确答案:

2744

解释：

正六面体是立方体的另一种叫法。

要求立方体的体积，

$\text{Volume}=(side)^3$

把问题中所给的信息代入得到

$\text{Volume}=(14)^3=2744$

问题9:如何求多面体的体积

求边长为的正八面体的体积．

可能的答案:

$729t^3\sqrt2$

$243t^3\sqrt2$

$81t^3\sqrt2$

$243t\sqrt2$

正确答案:

$243t^3\sqrt2$

解释：

用下面的公式计算正八面体的体积:

$\text{Volume}=\frac{\sqrt2}{3}(side)^3$

代入题目中的信息，

$\text{Volume}=\frac{\sqrt2}{3}(9t)^3=243t^3\sqrt2$

问题1:如何求多面体的体积

求一个棱柱的体积，棱柱底为直角三角形，柱脚长度为和高度为．

可能的答案:

288

144

432

正确答案:

144

解释：

要求棱镜的体积，用底的面积乘以高。

$\text{Area of Base}=\frac{3\times8}{2}=12$

$\text{Volume}=12\times height=12\times12=144$

问题11:如何求多面体的体积

求高度为的正六边形棱镜的体积．六边形底的边长是．

可能的答案:

$10\sqrt3$

$\frac{20\sqrt3}{3}$

$300\sqrt3$

$150\sqrt3$

正确答案:

$150\sqrt3$

解释：

六边形棱镜体积的计算公式是

$\text{Volume}=\frac{3\sqrt3}{2}(side)^2(height)$

代入题目给出的值

$\text{Volume}=\frac{3\sqrt3}{2}(5^2)(4)=150\sqrt3$

问题12:如何求多面体的体积

求边长为的正四面体的体积．

可能的答案:

$\frac{9a^3\sqrt2}{4}$

$\frac{4}{3a^3\sqrt2}$

$3a^3\sqrt2$

$12a^3\sqrt2$

正确答案:

$\frac{9a^3\sqrt2}{4}$

解释：

计算四面体体积的公式是

$\text{Volume}=\frac{\sqrt2}{12}(side)^3$

把题目给出的信息代入

$\text{Volume}=\frac{\sqrt2}{12}(3a)^3=\frac{27a^3\sqrt2}{12}=\frac{9a^3\sqrt2}{4}$

问题1:如何求四面体的体积

在三维空间中，四面体(一个有四个面的实体)的四个顶点具有笛卡尔坐标 (0,0,0), (10,0,0), (5, 18, 0), (8,8,8) ．

给出它的音量。

可能的答案:

120

240

720

160

360

正确答案:

240

解释：

四面体是一个三角形的金字塔，可以这样看。

其中三个顶点 (0,0,0), (10,0,0), (5, 18, 0) -在…-平面，可以看作三角形基底的顶点。如下图所示，这个三角形是等腰的:

四面体

它的底是10高是18，所以它的面积是

$B = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 18 = 90$

第四个顶点不在飞机;它与前面提到的面垂直的距离是坐标8，这是金字塔的高度。金字塔的体积是

$V = \frac{1}{3} \cdot 90 \cdot 8 = 240$

问题2:如何求四面体的体积

在三维空间中，四面体(一个有四个面的实体)的四个顶点具有笛卡尔坐标 (0,0,0), (15,0,0), (0,15,0), (0,0, 15) ．

这个四面体的体积是多少?

可能的答案:

$562 \frac{1}{2}$

正确答案不在其他答案中。

$281\frac{1}{4}$

$843 \frac{3}{4}$

375

正确答案:

$562 \frac{1}{2}$

解释：

四面体是这样的:

四面体

是原点和 A,B,C 是其他三个点，它们在三个(垂直)轴上分别距离原点15个单位。

这是一个三角形的金字塔，我们可以考虑 $\Delta OCB$ 基地;它的面积是腿积的一半，或者

$B = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 15 = 112\frac{1}{2}$ ．

这个四面体的体积是它的底与高之积的三分之一，后者是15。因此,

$V = \frac{1}{3} \cdot 15 \cdot 112\frac{1}{2} = 562 \frac{1}{2}$ ．

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