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PSAT数学:如何找到一个球体的半径

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例子问题

问题1:球体

一个体积为27立方英寸的立方体被刻在一个球体内，这样立方体的每个顶点都与球体接触。球体的半径是多少，单位是英寸?

可能的答案:

(3√3)/2(约2.60)

8.5

√3/2(约1.73)

正确答案:

(3√3)/2(约2.60)

解释：

我们知道立方体的体积是27立方英寸，所以立方体的每条边都是∛27=3英寸。由于立方体在球体内，球体的直径是立方体的对角线长度，所以球体的半径是立方体对角线长度的一半。为了求出立方体的对角线长度，我们使用距离公式d=√(3)²+ 3²+ 3²) =√(3 * 3²)=3√3，然后将结果除以2得到球体的半径(3√3)/2。

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问题2:如何求出球的半径

球体的表面积是100π平方英尺。半径的单位是英尺?

可能的答案:

One hundred.

正确答案:

解释：

S = 4π(右²）

100π = 4π(右²）

100 = 4r²

25 = r²

5 = r

报告错误

问题1:如何求出球的半径

一个球形水箱的表面积为400平方米。精确到十分之一米，给出水箱的半径。

可能的答案:

$11.3\textup{ m}$

$9.1\textup{ m}$

$3.2\textup{ m}$

$4.6\textup{ m}$

$5.6\textup{ m}$

正确答案:

$5.6\textup{ m}$

解释：

给定的半径表示球体的表面积是由公式给出的

$S = 4 \pi r^{2}$

集 S = 400 然后解出：

$4 \pi r^{2} = 400$

$4 \pi r^{2}\div 4 = 400 \div 4$

$\pi r^{2} = 100$

$\pi r^{2} \div \pi = 100 \div \pi$

$r^{2} \approx 100 \div 3.14159 \approx 31.831$

$r \approx \sqrt{31.831} \approx 5.6$ 米。

报告错误

问题2:如何求出球的半径

一个球形水箱要装5万升水。既然一立方米等于一千升，请写出这个容器的半径，精确到十分之一米。

可能的答案:

$4.6\textup{ m}$

$4.0 \textup{ m}$

$2.0 \textup{ m}$

$2.3\textup{ m}$

$3.5\textup{ m}$

正确答案:

$2.3\textup{ m}$

解释：

给定的半径，体积球面的大小由公式给出

$V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$

因为1000升= 1立方米，五万升= 50立方米，我们发现通过设置 V= 50 ：

$\frac{4}{3} \pi r^{3} = 50$

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} \pi r^{3} = \frac{3}{4} \cdot 50$

$\pi r^{3} = 37.5$

$r^{3} =\frac{ 37.5}{\pi} \approx 11.9366$

$r \approx\sqrt[3]{ 11.9366} \approx 2.3$ 米。

报告错误

问题3:如何求出球的半径

开尔文温标与摄氏温标基本相同，只是零点不同;把摄氏度换算成开尔文，加273。同样，根据查尔斯定律，一定质量气体的体积与温度成正比，温度用开尔文表示。

在清晨，当温度是 $5^{\circ }C$ 在美国，一个球形气球充满氦气，直到它的半径为100米。下午两点，温度是 $20^{\circ }C$ ．精确到十分之一米，此时气球的半径是多少?

可能的答案:

$107.2\textup{ m}$

$158.7 \textup{ m}$

$98.3 \textup{ m}$

$101.8 \textup{ m}$

$63.0\textup{ m}$

正确答案:

$101.8 \textup{ m}$

解释：

气球的体积由公式给出

$V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ ．

同样，根据变异关系，

$\frac{V'}{T'} = \frac{V}{T}$

我们不需要计算气球的原始体积;我们可以简单地用公式代替体积:

$\frac{ \frac{4}{3} \pi r'^{3}}{T'} = \frac{ \frac{4}{3} \pi r^{3}}{T}$

两边同时除以 $\frac{4}{3} \pi$ 得到一个新的方程:

$\frac{ r'^{3}}{T'} = \frac{ r^{3}}{T}$

初始半径为 r = 100

初始温度为 $T = 273 + 5 = 278 \textup{ K}$

最终(中午)温度为 $T ' = 273 + 20= 293 \textup{ K}$

代入求最终半径:

$\frac{ r'^{3}}{293} = \frac{ 100^{3}}{278}$

$r'^{3} = \frac{ 1,000,000}{278} \cdot 293 \approx 1,053,957$

$r' = \approx\sqrt[3]{ 1,053,957} \approx 101.8$ 米。

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问题4:如何求出球的半径

华盛顿市政府想为市政厅建造一个球形水箱。这个水箱的容量为120立方米。

最接近的十分之一，水箱的半径是多少?

可能的答案:

$6.1\textup{ m}$

在其他回答中没有给出正确答案。

$10.7\textup{ m}$

$3.1\textup{ m}$

$5.4\textup{ m}$

正确答案:

$3.1\textup{ m}$

解释：

给定半径，体积球面的大小由公式给出

$V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$

求出内半径通过设置 V= 120 ：

$\frac{4}{3} \pi r^{3} = 120$

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} \pi r^{3} = \frac{3}{4} \cdot 120$

$\pi r^{3} = 90$

$r^{3} =\frac{ 90}{\pi} \approx 28.65$

$r \approx\sqrt[3]{ 28.65} \approx 3.1$ 米。

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问题2:如何求出球的半径

一个球形的气球在早晨温度达到摄氏100度时装满了1万立方米的气体 $10^{\circ }C$ ．温度上升到 $25^{\circ }C$ 到中午，其他条件不变。气球在中午的半径是多少，精确到十分之一米?

可能的答案:

其他回答都没有给出正确答案。

$13.1\textup{ m}$

$18.1\textup{ m}$

$9.8\textup { m}$

$13.6 \textup{ m}$

正确答案:

$13.6 \textup{ m}$

解释：

首先，我们用变分方程求出气球在中午的体积。首先，我们给每个温度加上273。

初始温度为 $273 + 10 = 283 \textup{ K}$

最终(中午)温度为 $273 + 25= 298 \textup{ K}$

由于体积与温度成正比，我们可以建立这个方程

$\frac{V'}{T'} = \frac{V}{T}$

$\frac{V'}{298} = \frac{10,000}{283}$

$V' = \frac{10,000}{283} \cdot 298 \approx 10,530$

球体的体积由公式给出

$V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$

所以设置 V = 10,530 然后解出：

$\frac{4}{3} \pi r^{3} = 10,530$

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} \pi r^{3} = \frac{3}{4} \cdot 10,530$

$\pi r^{3} \approx 7,897.5$

$r^{3} \approx 7,897.5 \div \pi \approx 2,513.8$

$r \approx\sqrt[3]{ 2,513.8} \approx 13.6$ 米。

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问题6:如何求出球的半径

求体积为的球体的半径 $\small \small 36\pi$ $\text{in}^3$ ．

可能的答案:

$\small 9\pi$ $\text{in}$

$\small 3$ $\text{in}$

$\small 9$ $\text{in}$

$\small 3\pi$ $\text{in}$

正确答案:

$\small 3$ $\text{in}$

解释：

用球体体积方程求半径。

$\small V = \frac{4}{3}\pi r^{3}$

$\small 36\pi = \frac{4}{3}\pi r^{3}$

$\small \small 36 = \frac{4}{3} r^{3}$

$\small 27 = r^{3}$

$\small r = 3$

所以球的半径是3

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问题7:如何求出球的半径

如果一个球体的体积是 $36\pi\textup{ cubic inches}$ ，那么这个球的半径是多少?

可能的答案:

$3\textup{ in}$

$18\textup{ in}$

$6\textup{ in}$

$9\textup{ in}$

$4.5\textup{ in}$

正确答案:

$3\textup{ in}$

解释：

球体的体积等于

$v=\left ( \frac{4}{3} \right )\pi r^3$

因此,

$r=\sqrt[3]{(3/4)v/\pi}=\sqrt[3]{(3/4)36\pi/\pi}=\sqrt[3]{27}=3$

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