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微积分预备:三角函数应用

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例子问题

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例子问题1:解直角三角形

在直角三角形中，如果斜边是腿是三角形的面积是多少?

可能的答案:

$\frac{15}{2}$

$\frac{3\sqrt7}{2}$

$3\sqrt{7}$

正确答案:

$\frac{3\sqrt7}{2}$

解释：

用勾股定理找到另一条腿。

${}a^2+b^2=c^2$

a^2+3^2=4^2

a^2=7

$a=\sqrt7$

给定腿的长度是3，未知腿的长度是 $\sqrt7$ ．

用三角形的面积公式求解。

$A=\frac{bh}{2}= \frac{3\sqrt7}{2}$

例子问题2:解直角三角形

等腰直角三角形的斜边是1。这个三角形的面积是多少?

可能的答案:

$\frac{\sqrt2}{2}$

$\sqrt2$

$\frac{1}{4}$

$\frac{1}{2}$

正确答案:

$\frac{1}{4}$

解释：

写出勾股定理的公式。

a^2+b^2=c^2

在等腰直角三角形中，直角三角形的两条边相等。

a=b

将任意一个变量和已知的假设代入，并确定边长。

b^2+b^2 =1

2b^2=1

$b^2=\frac{1}{2}$

$b=\sqrt\frac{1}{2}$

这个长度代表三角形的底和高。写出三角形的面积，代入求面积。

$A=\frac{bh}{2}=\frac{\sqrt\frac{1}{2}\sqrt\frac{1}{2}}{2}=\frac{\frac{1}{2}}{2}= \frac{1}{4}$

例子问题3:解直角三角形

解出直角三角形。

Pcq1

C = 90°

B = 45°

一个= 5

c = $\sqrt{50}$

可能的答案:

这些答案都不正确。

一个= 135°

b = 5

= 45°

b = $\sqrt{50}$

一个= 135°

b = 2.07

= 45°

b = 5

正确答案:

= 45°

b = 5

解释：

Pcq1

考虑到:

C = 90°

B = 45°

一个= 5

c = $\sqrt{50}$

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

因此……

$5^{2}+b^{2}=(\sqrt{50})^{2}$

$25+b^{2}=50$

$b^{2}=50-25$

$b^{2}=25$

$\sqrt{b^{2}} =\sqrt{25}$

b=5

三角形所有的角和为180度。

$A+45^{\circ}+90^{\circ}=180^{\circ}$

$A+135^{\circ}=180^{\circ}$

$A=180^{\circ}-135^{\circ}$

$A=45^{\circ}$

问题4:解直角三角形

直角三角形的底是10，斜边是20。另一条腿的长度是多少?

可能的答案:

$5\sqrt3$

$15\sqrt2$

$10\sqrt2$

$10\sqrt3$

正确答案:

$10\sqrt3$

解释：

写出勾股定理。

a^2+b^2=c^2

替换腿和斜边的值。斜边是直角三角形的最长边。解出未知变量。

a^2+10^2 = 20^2

a^2 = 20^2-10^2

a^2 = 300

$a=\sqrt{300} = \sqrt{100\times3} = \sqrt{100}\times \sqrt3 = 10\sqrt3$

例5:解直角三角形

在直角三角形ABC中，边AB是厘米长，边AC为cm长，BC是斜边。BC边多长?

可能的答案:

$\sqrt{106}$ 厘米

厘米

106 厘米

$\sqrt{56}$ 厘米

正确答案:

$\sqrt{106}$ 厘米

解释：

假设ABC是直角三角形，斜边BC的长度是另外两条边平方和的根(换句话说， BC^2 = AB^2 + AC^2 ．因为AB是厘米长，AC为厘米长，我们知道了 BC^2 = 81+25 = 106 ，所以 $BC = \sqrt{106}$ ．

例子问题6:解直角三角形

直角三角形ABC的边长为AC > BC > AB, AC = 25 AB = 9。BC的长度是多少?

可能的答案:

$6\sqrt{17}$

$4\sqrt{34}$

$45\sqrt{2}$

正确答案:

$4\sqrt{34}$

解释：

当你用勾股定理计算直角三角形缺失的那条边时，确定哪条边是斜边是至关重要的，在勾股定理方程中 a^2+b^2=c^2 ．已知AC是三条边中最长的，所以25是斜边的长度和．这允许你建立方程:

$a^{2}+9^{2}=25^{2}$

然后你可以对已知值进行计算:

81+a^2=625

这意味着:

a^2= 544 $a^{2}=544$

由此你可以化简，得到a = 4乘以根号34。

a^2= 544 $a^{2}$

例子问题1:解直角三角形

Isoscelestriangle_800

鉴于 a=6ft ，等腰三角形的下角为 $68^\circ$ 的长度是多少？四舍五入到最近的十分位。

可能的答案:

7.43ft

8ft

7.4ft

7ft

正确答案:

7.4ft

解释：

因为等腰角是 $68^\circ$ 所形成的直角三角形中较大的角也 $68^\circ$ ．

使用 tan(68) ，我们可以找到：

$tan(68)=\frac{h}{3}$ ．

然后求解：

3tan(68)=h ．

简化: 7.42526056=h ．

最后，四舍五入并添加适当的单位: 7.4ft=h ．

例8:解直角三角形

等腰三角形 ABC ， $m\angle A = m\angle B = 29^\circ$ ．如果一方 AB = 10 ，两条腿的大概长度是多少而且？

可能的答案:

6.1

6.8

5.7

5.2

4.5

正确答案:

5.7

解释：

在图中，AB被高度切成两半。

从这里开始很容易用直角三角形来解AC。

$\\ \cos 29^\circ =\frac{opp}{hyp}= \frac {5}{AC} \\* \\* AC = \frac {5}{cos 29^\circ} \approx 5.7$

问题9:解直角三角形

求以下等腰三角形的面积(单位为厘米):

校对数图

可能的答案:

$72\; cm^{2}$

$36 \; cm^{2}$

$64.5 \; cm^{2}$

$32.25 \; cm^{2}$

$32\; cm^{2}$

正确答案:

$32.25 \; cm^{2}$

解释：

三角形面积的计算公式为:

$A=\frac{1}{2}\cdot base\cdot height$

我们已经知道了底是多少，我们可以把等腰三角形分成两个直角三角形来求高:

校对数图

从这里，我们可以使用paththegorean定理来计算高度:

$9^{2}=h^{2}+4^{2}$

$h^{2}=81-16=65$

$h=\sqrt{65}$

为了求出面积，现在我们只需将这些值代入公式:

$A= \frac{1}{2}\cdot8 \cdot \sqrt{65}$

$A=32.25 cm^{2}$

例子问题10:解直角三角形

求出给定等腰三角形的面积，并将所有值四舍五入到最接近的十分之一:

校对数图

可能的答案:

$133.2 \; cm^{2}$

$46.2 \; cm^{2}$

$102.2 \; cm^{2}$

$51.1 \; cm^{2}$

$66.6 \; cm^{2}$

正确答案:

$51.1 \; cm^{2}$

解释：

求面积的第一步是将等腰分成两个直角三角形:

校对数图

由此，我们可以确定面积方程所需的高度和底面 $A=\frac{1}{2}\cdot b \cdot h$

$sin(67.5^{\circ})=\frac{1/2Base}{12\; cm}$

$0.924=\frac{1/2Base}{12\; cm}$

$1/2Base=11.1\;cm$

$Base=22.2 \; cm$

在此基础上，通过paththegorean定理可以很容易地确定高度:

$(12\; cm)^{2}=(11.1\; cm)^{2}+h^{2}$

$h^{2}=144\; cm^{2}-123.2\; cm^{2}=20.8cm^{2}$

$Height=4.6\; cm$

现在这两个值都可以代入Area公式:

$A=\frac{1}{2}\cdot22.2\; cm\cdot4.6\; cm=51.1cm^{2}$

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