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微积分预备:三角函数应用

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例子问题

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例子问题10:余弦和正弦定律

Lc1c

边的尺寸是多少用余弦定理?四舍五入到最近的十分位。

可能的答案:

234.2m

235m

234.3m

234m

正确答案:

234.3m

解释：

边的余弦定理是,

$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot cosA$ ．

代入已知的信息，公式是，

a^2=400^2+375^2-2(400)(375)cos(35)=54879.38671 ．

然后取两边的平方: a=234.2634985 ．

最后，四舍五入到适当的单位: a=234.3m ．

问题11:运用余弦和正弦定律

用余弦定律求出指定的变量。

Pcq1

A=36.870

b=4

c=5

解出．四舍五入到最近的十分位。

可能的答案:

$\frac{-32}{-40}$

这些答案都不正确。

正确答案:

解释：

余弦定律

$a^2=b^2+c^2-2bc \cos A$

因此……

$a^2=16+25-2(4)(5)(\cos 36.9)$

$a^2=41-40(\cos 36.9)$

a^2=41-31.987

a^2=9.01

a=3.00

之后……

a=3

问题11:余弦和正弦定律

用正弦定律求在下面的三角形中。

(不是按比例画的。)

可能的答案:

c=9.03

c=15.95

c=7.52

c=13.29

c=14.4

正确答案:

c=9.03

解释：

我们用正弦定律来解决这个问题

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

代入 $b=12, B=70^{\circ}, C=45^{\circ}$

$\frac{12}{\sin 70^{\circ}}=\frac{c}{\sin 45^{\circ}}$

解我们得到:

$c=\frac{12\times \sin 45^{\circ}}{\sin 70^{\circ}}=9.03$

示例问题13:运用余弦和正弦定律

用正弦定律求．

(不是按比例画的。)

可能的答案:

b=14.29

b=7.17

b=2.9

b=6.52

b=23.56

正确答案:

b=7.17

解释：

我们用正弦定律来解决这个问题:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$

在哪里 $A=65^{\circ}, B=30^{\circ}, C=85^{\circ}, a=13$

我们插入我们需要的值:

$\frac{13}{\sin 65^{\circ}}=\frac{b}{\sin 30^{\circ}}$

注意，我们没有使用．

解出我们得到:

$b=\frac{13\times \sin 30^{\circ}}{\sin 65^{\circ}}=7.17$

问题14:运用余弦和正弦定律

下列哪一条是三角形缺失的边?

$\text{I. } 13.95$

$\text{II. }6.55$

$\text{III. }4.59$

$\text{IV. }9.77$

可能的答案:

$\text{II and III}$

$\text{II and IV}$

$\text{I and III}$

以上都不是

正确答案:

$\text{II and III}$

解释：

为了解决这个问题，我们需要找到．我们通过记住三角形内角的和来计算 $180^{\circ}$ ：

$C=180^{\circ}-55^{\circ}-35^{\circ}=90^{\circ}$

现在我们可以用正弦定律求出缺失的边。

$\frac{a}{\sin 55}=\frac{8}{\sin 90}$

$a=\frac{8\times \sin 55}{\sin 90}=6.55$ 这是2．

$\frac{b}{\sin 35}=\frac{8}{\sin 90}$

$b=\frac{8\times \sin 35}{\sin 90}=4.59$ 这是3．

我们的答案是II和III

例子问题15:运用余弦和正弦定律

下列哪一条是三角形缺失的边?

$\text{I. }4.55$

$\text{II. }5.49$

$\text{III. }1.72$

$\text{IV. }14.56$

可能的答案:

$\text{I and II}$

以上都不是

$\text{II and IV}$

$\text{I and III}$

正确答案:

$\text{I and III}$

解释：

为了解决这个问题，我们需要找到

因为三角形所有的角相加 $180^{\circ}$ ，我们可以很容易地找到它:

$180^{\circ}-65^{\circ}-20^{\circ}=95^{\circ}$

现在我们可以使用正弦定律来寻找缺失的边:

$\frac{a}{\sin 65}=\frac{5}{\sin 95}$

$a=\frac{5\times \sin 65}{\sin 95}=4.55$ 这是我．

$\frac{b}{\sin 20}=\frac{5}{\sin 95}$

$b=\frac{5\times \sin 20}{\sin 95}=1.72$ 这是3．

我们的答案是I和III。

例子问题16:运用余弦和正弦定律

用正弦定律求解三角形:

Law_of_sines__aas_

可能的答案:

$a = 5.64, \measuredangle A = 30^{\circ}, b = 8.55$

其他答案都没有

$a = 4.37, \measuredangle A = 20^{\circ}, b = 9.78$

$a = 5.81, \measuredangle A = 20^{\circ}, b = 10.34$

$a=6.01, \measuredangle A=31^\circ, b=12$

正确答案:

$a = 4.37, \measuredangle A = 20^{\circ}, b = 9.78$

解释：

首先，我们需要知道sin定律是什么:

$\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB} = \frac{c}{sinC}$

看这个三角形，我们知道c c b，我们可以用定律解出边b，也可以用三角形内角之和为180的知识解出角A。

$\frac{b}{sin50^{\circ}} = \frac{12}{sin110^{\circ}}$

$b = \frac{12\cdot sin{50^{\circ}}}{sin110^{\circ}} = 9.78$

$A = 180^{\circ} - 110^{\circ} - 50^{\circ} = 20^{\circ}$

现在剩下的就是找边a了

$\frac{a}{sin20^{\circ}} = \frac{12}{sin110^{\circ}}$

$a = \frac{12\cdot sin{20^{\circ}}}{sin110^{\circ}} = 4.37$

问题17:运用余弦和正弦定律

使用正弦定律来求解指定的变量。

Pcq2

A=60

B=70

a=6

解出．四舍五入到最近的十分位。

可能的答案:

5.6

0.1

4.9

6.5

这些答案都不正确。

正确答案:

6.5

解释：

正弦定律

$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$

因此……

$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$

$\frac{\sin 60}{6}= \frac{\sin 70}{b}$

$\sin 60 = \frac{6 \cdot \sin 70}{b}$

$b=\frac{6 \cdot \sin 70}{\sin 60}$

b=6.526

之后……

b=6.5

示例问题18:运用余弦和正弦定律

Pcq2

用正弦定律求解c，已知:

B=70

C=50

b=6.5

四舍五入到最近的十分位。

可能的答案:

1.1

这些答案都不正确。

5.0

0.7

5.3

正确答案:

5.3

解释：

正弦定律

$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c}$

因此……

$\frac{\sin 70}{6.5}=\frac{\sin 50}{c}$

$\sin 70 = \frac{6.5 \cdot \sin 50}{c}$

$c= \frac{6.5 \cdot \sin 50}{\sin 70}$

c=5.320

之后……

c=5.3

例19:运用余弦和正弦定律

Triangle_700

鉴于 b=4ft, c=6ft, 而且 $B=36^\circ$ ，测量的是什么最接近的程度?

可能的答案:

$83^\circ$

$82^\circ$

$82.15^\circ$

$82.2^\circ$

正确答案:

$82^\circ$

解释：

利用已知的信息，我们可以解出 $\angle C$ ：

$\frac{sinB}{b}=\frac{sinC}{c}$ ．

代入我们已知的，我们有:

$\frac{sin(36)}{4}=\frac{sinC}{6}$ ．

然后求解 sinC ：

$6\cdot\frac{sin(36)}{4}=sinC$ ．

先化简，再解： 0.8816778784=sinC 这意味着 $sin^{-1}(.8816778784)=C$ ．

因此，四舍五入到最接近的度之后， $C=62^\circ$ ．

来解 $\angle A$ 、减 $\angle B$ 而且 $\angle C$ 从 $180^\circ$ ： $180^\circ-36^\circ-62^\circ=82^\circ$ ．

因此, $\angle A = 82^\circ$ ．

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