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微积分预备:用有理指数简化表达式

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例子问题

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例子问题1:用有理指数简化表达式

简化

$\frac{9^{\frac{2}{3}}\cdot 3^{\frac{5}{3}}}{6^{2}}$

可能的答案:

$\frac{3}{4}$

$\frac{9}{4}$

$\frac{9}{2}$

$\frac{27}{2}$

正确答案:

$\frac{3}{4}$

解释:

$\frac{9^{\frac{2}{3}}\cdot 3^{\frac{5}{3}}}{6^{2}}=\frac{(3^{2})^{\frac{2}{3}}\cdot3^{\frac{5}{3}}}{6^{2}}=\frac{3^{\frac{4}{3}}\cdot 3^{\frac{5}{3}}}{6^{2}}$

$=\frac{3^\frac{9}{3}}{6^2}=\frac{3^3}{6^2}=\frac{27}{36}=\frac{3}{4}$ ．

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例子问题2:用有理指数简化表达式

简化表达式。

$\frac{x^{3/2}y^{7/3}}{x^3 y^{2/9}}$

可能的答案:

$\frac{1}{x^{9/2}y^{14/27}}$

$\frac{x^{3/2}}{y^{19/9}}$

$x^{9/2}y^{23/9}$

$x^{3/2}y^{19/9}$

$\frac{y^{19/9}}{x^{3/2}}$

正确答案:

$\frac{y^{19/9}}{x^{3/2}}$

解释:

利用指数的性质，我们可以选择减去对应底数的指数，或者像这样使用负指数重写表达式:

$x^{3/2}x^{-3}y^{7/3}y^{-2/9}$

在这里，我们将这些项与相应的底数结合起来通过将指数相加得到

$x^{-3/2}y^{19/9}$

把x项(因为它有一个负指数)放在分母上，就会得到正确的答案。可以证明，只要减去相应底的指数就会得到相同的答案。

$\frac{y^{19/9}}{x^{3/2}}$

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示例问题3:用有理指数简化表达式

简化表达式 $4^{2.5}$ ．

可能的答案:

其他答案都没有。

正确答案:

解释:

我们按照以下步骤进行

$4^{2.5}$

写 2.5 作为一个分数

$4^{5/2}$

分数的分母是a，所以它是平方根。

$(^2\sqrt{4})^5$

取平方根。

2^5

提高到 5th 权力。

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示例问题4:用有理指数简化表达式

的价值是什么 $32^{\frac{3}{5}}$ ?

可能的答案:

19.2

正确答案:

解释:

回想一下，当考虑有理指数时，分数的分母告诉我们表达式的“根”。

因此在这个例子中，我们求的是．

的五次根是,因为 $2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2 = 32$ ．

因此，我们把我们的表达简化为 $2^3 = 2\cdot2\cdot2 = 8$ ．

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示例问题5:用有理指数简化表达式

简化表达式: $\frac{2x^3y^4}{6x^4y}$

可能的答案:

$\frac{3}{y^3}$

$\frac{3}{xy^3}$

$\frac{y^3x}{3}$

$\frac{y^3}{3x}$

$\frac{y^3}x{}$

正确答案:

$\frac{y^3}{3x}$

解释:

$\frac{2x^3y^4}{6x^4y}$

简化常量:

$\frac{x^3y^4}{3x^4y}$

减去x的指数:

$\frac{y^4}{3xy}$

$x^3-x^4=x^{3-4}=x^{-1}=\frac{1}{x}$ 这就是x趋近于分母的方式。

最后减去y的指数:

$\frac{y^3}{3x}$

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示例问题6:用有理指数简化表达式

解决:

$3x^{\frac{3}{4}} = x^{\frac{1}{2}}$

可能的答案:

$x = \frac{1}{2}$

x = 9

x = 3

$x = \frac{3}{4}$

$x = \frac{1}{81}$

正确答案:

$x = \frac{1}{81}$

解释:

为了去掉分数指数，两边都取2次方化简:

$(3x^{\frac{3}{4}})^{2} = (x^{\frac{1}{2}})^{2}$

$9x^{\frac{3}{2}} = x$

$\frac{9x^{\frac{3}{2}}}{x} = \frac{x}{x}$

$9x^{\frac{1}{2}} = 1$

现在解决:

$\frac{9x^{\frac{3}{2}}}{9} = \frac{1}{9}$

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{9}$

$(x^{\frac{1}{2}})^{2} = (\frac{1}{9})^{2}$

$x = \frac{1}{81}$

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示例问题7:用有理指数简化表达式

解决:

$x^{\frac{1}{3}} = 2$

可能的答案:

$x = \frac{2}{3}$

x = 1

x = 6

$x = \frac{3}{2}$

x = 8

正确答案:

x = 8

解释:

为了去除有理指数，对方程两边取立方:

$(x^{\frac{1}{3}})^{3} = (2)^{3}$

现在对方程两边同时化简:

$x^{\frac{1}{3}\cdot 3} = 2^{3}$

$x^{1} = 2^{3}$

x = 8

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示例问题8:用有理指数简化表达式

用正指数化简和重写:

$\frac{2a^3b^{28}c^2d^2e^4f}{3a^2b^{27}cd^3e^5f^2}$

可能的答案:

$\frac{2a^6bc^3}{3def}$

$\frac{2def}{3abc}$

$\frac{2abc}{3def}$

$\frac{2def}{3a^6bc^3}$

$\frac{2abcd^{-1}e^{-1}f^{-1}}{3}$

正确答案:

$\frac{2abc}{3def}$

解释:

$\frac{2a^3b^{28}c^2d^2e^4f}{3a^2b^{27}cd^3e^5f^2}$

当有相同底数的两个指数相除时，我们减去指数:

$\frac{2abcd^{-1}e^{-1}f^{-1}}{3}$

负指数是根据这个规则处理的

$a^{-m}=\frac{1}{a^m}$ :

$\mathbf{\frac{2abc}{3def}}$

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示例问题9:用有理指数简化表达式

简化功能:

$y = ((x+2)^{1/2})^2$

可能的答案:

$y = (x+2)^{3}$

$y = (x+2)^{1/4}$

$y = (x+2)^{3/2}$

y = (x+2)

正确答案:

y = (x+2)

解释:

当一个指数被取到另一个指数的次幂时，只需将两个指数相乘。

$y = (x^a)^b = x^{ab}$

$y = ((x+2)^{1/2})^2 = (x+2)^1$

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示例问题10:用有理指数简化表达式

简化:

$\frac{8xy^2}{2x^4y}*x^2y^3$

可能的答案:

其他答案都没有。

$\frac{4y^4}{x}$

4xy^4

$\frac{4y^6}{x}$

4xy^6

正确答案:

$\frac{4y^4}{x}$

解释:

垂直减去x指数和y指数。如果底数相同，则将指数水平相加(减去x和y)。最后把负指数移到分母上。

$\frac{8xy^2}{2x^4y}*x^2y^3\rightarrow 4x^{-3}y*x^2y^3\rightarrow 4x^{-1}y^4=\frac{4y^4}{x}$

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