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微积分预备:有理指数

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例子问题

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例子问题1:用有理指数简化表达式

简化

$\frac{9^{\frac{2}{3}}\cdot 3^{\frac{5}{3}}}{6^{2}}$

可能的答案:

$\frac{3}{4}$

$\frac{9}{4}$

$\frac{9}{2}$

$\frac{27}{2}$

正确答案:

$\frac{3}{4}$

解释：

$\frac{9^{\frac{2}{3}}\cdot 3^{\frac{5}{3}}}{6^{2}}=\frac{(3^{2})^{\frac{2}{3}}\cdot3^{\frac{5}{3}}}{6^{2}}=\frac{3^{\frac{4}{3}}\cdot 3^{\frac{5}{3}}}{6^{2}}$

$=\frac{3^\frac{9}{3}}{6^2}=\frac{3^3}{6^2}=\frac{27}{36}=\frac{3}{4}$ ．

例子问题2:用有理指数简化表达式

化简表达式。

$\frac{x^{3/2}y^{7/3}}{x^3 y^{2/9}}$

可能的答案:

$\frac{1}{x^{9/2}y^{14/27}}$

$\frac{x^{3/2}}{y^{19/9}}$

$x^{9/2}y^{23/9}$

$x^{3/2}y^{19/9}$

$\frac{y^{19/9}}{x^{3/2}}$

正确答案:

$\frac{y^{19/9}}{x^{3/2}}$

解释：

使用指数的属性，我们可以选择减去对应底数的指数，或者使用负指数重写表达式:

$x^{3/2}x^{-3}y^{7/3}y^{-2/9}$

在这里，我们将这些项与相应的底数结合起来，通过将指数相加得到

$x^{-3/2}y^{19/9}$

将x项(因为它有一个负指数)放在分母中会得到正确的答案。可以证明，简单地减去对应底数的指数将得到相同的答案。

$\frac{y^{19/9}}{x^{3/2}}$

例子问题3:用有理指数简化表达式

简化表达式 $4^{2.5}$ ．

可能的答案:

其他答案都没有。

正确答案:

解释：

我们按照以下步骤进行

$4^{2.5}$

写 2.5 作为分数

$4^{5/2}$

分数的分母是a，所以它变成了平方根。

$(^2\sqrt{4})^5$

取平方根。

2^5

提高到 5th 权力。

问题4:用有理指数简化表达式

价值是什么 $32^{\frac{3}{5}}$ ?

可能的答案:

19.2

正确答案:

解释：

回想一下，当考虑有理数指数时，分数的分母告诉我们表达式的“根”。

在这种情况下，我们求的是五次方根．

五次方根是,因为 $2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2 = 32$ ．

因此，我们将表达式简化为 $2^3 = 2\cdot2\cdot2 = 8$ ．

例5:用有理指数简化表达式

简化表达式: $\frac{2x^3y^4}{6x^4y}$

可能的答案:

$\frac{3}{y^3}$

$\frac{3}{xy^3}$

$\frac{y^3x}{3}$

$\frac{y^3}{3x}$

$\frac{y^3}x{}$

正确答案:

$\frac{y^3}{3x}$

解释：

$\frac{2x^3y^4}{6x^4y}$

简化常量:

$\frac{x^3y^4}{3x^4y}$

减去x指数:

$\frac{y^4}{3xy}$

$x^3-x^4=x^{3-4}=x^{-1}=\frac{1}{x}$ 这就是x向分母移动的方式。

最后减去“y”指数:

$\frac{y^3}{3x}$

例子问题6:用有理指数简化表达式

解决:

$3x^{\frac{3}{4}} = x^{\frac{1}{2}}$

可能的答案:

$x = \frac{1}{2}$

x = 9

x = 3

$x = \frac{3}{4}$

$x = \frac{1}{81}$

正确答案:

$x = \frac{1}{81}$

解释：

要去掉分数指数，两边都取2次方，然后化简:

$(3x^{\frac{3}{4}})^{2} = (x^{\frac{1}{2}})^{2}$

$9x^{\frac{3}{2}} = x$

$\frac{9x^{\frac{3}{2}}}{x} = \frac{x}{x}$

$9x^{\frac{1}{2}} = 1$

现在求解：

$\frac{9x^{\frac{3}{2}}}{9} = \frac{1}{9}$

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{9}$

$(x^{\frac{1}{2}})^{2} = (\frac{1}{9})^{2}$

$x = \frac{1}{81}$

例子问题1:用有理指数简化表达式

解决:

$x^{\frac{1}{3}} = 2$

可能的答案:

$x = \frac{3}{2}$

x = 1

x = 8

x = 6

$x = \frac{2}{3}$

正确答案:

x = 8

解释：

为了去掉有理数指数，对方程两边都取立方:

$(x^{\frac{1}{3}})^{3} = (2)^{3}$

现在对方程两边进行化简:

$x^{\frac{1}{3}\cdot 3} = 2^{3}$

$x^{1} = 2^{3}$

x = 8

例子问题1:用有理指数简化表达式

用正指数来简化和重写:

$\frac{2a^3b^{28}c^2d^2e^4f}{3a^2b^{27}cd^3e^5f^2}$

可能的答案:

$\frac{2def}{3a^6bc^3}$

$\frac{2def}{3abc}$

$\frac{2a^6bc^3}{3def}$

$\frac{2abc}{3def}$

$\frac{2abcd^{-1}e^{-1}f^{-1}}{3}$

正确答案:

$\frac{2abc}{3def}$

解释：

$\frac{2a^3b^{28}c^2d^2e^4f}{3a^2b^{27}cd^3e^5f^2}$

当两个底数相同的指数相除时，我们将指数相减:

$\frac{2abcd^{-1}e^{-1}f^{-1}}{3}$

负指数是根据规则处理的

$a^{-m}=\frac{1}{a^m}$ ：

$\mathbf{\frac{2abc}{3def}}$

例子问题1:用有理指数简化表达式

简化函数:

$y = ((x+2)^{1/2})^2$

可能的答案:

$y = (x+2)^{1/4}$

$y = (x+2)^{3/2}$

y = (x+2)

$y = (x+2)^{3}$

正确答案:

y = (x+2)

解释：

当一个指数被取另一个指数的次幂时，只需将这两个指数相乘。

$y = (x^a)^b = x^{ab}$

$y = ((x+2)^{1/2})^2 = (x+2)^1$

例子问题1:用有理指数简化表达式

简化:

$\frac{8xy^2}{2x^4y}*x^2y^3$

可能的答案:

其他答案都没有。

4xy^4

4xy^6

$\frac{4y^6}{x}$

$\frac{4y^4}{x}$

正确答案:

$\frac{4y^4}{x}$

解释：

垂直地减去x指数和y指数。然后，如果指数底数相同，则水平相加(减去“x”，再减去“y”)。最后将负指数移到分母上。

$\frac{8xy^2}{2x^4y}*x^2y^3\rightarrow 4x^{-3}y*x^2y^3\rightarrow 4x^{-1}y^4=\frac{4y^4}{x}$

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