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例子问题

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问题21:之前的微积分

你已经知道了 $\log_{10} x = A$ 而且 $\log_{10} y = B$ ．

下面哪个等于 $100^{2A-B}$ ?

可能的答案:

$x^{4}y^{2}$

$\frac{x^{4}}{y^{2}}$

$\frac{x}{\sqrt{y}}$

$\frac{y^{2}}{x^{4}}$

$\frac{2x}{y}$

正确答案:

$\frac{x^{4}}{y^{2}}$

解释：

自 $\log_{10} x = A$ 而且 $\log_{10} y = B$ ，可以得出 $10^{A} = x$ 而且 $10^{B} = y$

$100^{2A-B} = \left( 10^{2} \right ) ^{2A-B} =10^{2 (2A-B)} =10^{4A-2B}=\frac{10^{4A}}{10^{2B}} =\frac{\left ( 10^{A}\right )^4}{\left (10^{B}\right )^2}=\frac{x^4}{y^2}$

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例子问题1:对数函数

解决。

$\ln(x^2-4)+\ln(3)=0$

可能的答案:

$x=\pm\sqrt{\frac{13}{3}$

$x=\pm2$

x=4

其他答案都没有

$x=\pm\sqrt{\frac{4}{3}}$

正确答案:

$x=\pm\sqrt{\frac{13}{3}$

解释：

首先我们把LHS压缩成 $\ln(3x^2-12)$ 利用对数的性质。然后我们可以消去LHS上的自然对数通过把方程两边都提高为带底的指数．这就留给我们 3x^2-12=1 自 e^0 = 1 ．现在我们做一些简单的代数运算，得到答案。

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例子问题1:对数函数

解决。

$10^{2x}=64$

可能的答案:

$\ln(8)$

$\log(8)$

$2\log(8)$

其他答案都没有

$\log(64)$

正确答案:

$\log(8)$

解释：

首先对两边取对数。这个收益率 $\log10^{2x}=\log(64)$ ．现在利用对数的性质，我们可以在前面 $\log(10)$ ．自 $\log(10)=1$ ．剩下的是 $2x = \log(64)$ ．两边除以我们发现 $x = \frac{1}{2}\log(64) = \log(\sqrt{64})=\log(8)$ ．

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示例问题3:指数函数和对数函数

核定方程 e^2^x^+^1=100 ．用计算器把答案近似到小数点后三位。

可能的答案:

1.803

1.021

2.281

0.500

4.605

正确答案:

1.803

解释：

首先，我们将方程改写为对数形式，得到 $2x+1=\ln100$ ．简化,我们得到

2x = ln100 - 1

$x=\frac{ln100-1}{2}$

$x\approx1.803$

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例子问题1:指数函数和对数函数

简化

$\log_464$

可能的答案:

正确答案:

解释：

$\log_464\rightarrow \log_44^3\rightarrow 3$

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例子问题1:指数函数和对数函数

解以下方程：

$4^x-16^{x-2}=0$

可能的答案:

正确答案:

解释：

此问题需要使用日志来解决。遵循以下步骤:

$4^x=16^{x-2}$

$4^x=4^{2(x-2)}$

$\log_{4}4^x=\log_{4}4^{2(x-2)}$

x=2(x-2)

x=2x-4

-x=-4

x=4

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示例问题6:指数函数和对数函数

解决。

$\log_{2}(p-7)+\log_{2}(p)=3$

可能的答案:

p=7,2

p=7,-2

p=-8,1

p=-8,-1

p=8

正确答案:

p=8

解释：

首先我们把LHS压缩成 $\log_{2}(p^2-7p)$ ．现在我们可以消去log底让方程两边都是底的指数．这就留给我们 p^2-7p=8 ．移动对LHS进行求解，得到一个简单的二次方程而且为解决方案。最后,我们消除因为负数的对数没有定义。

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示例问题7:指数函数和对数函数

求出函数的定义域 f(x)= $\log_{4}(8 - 4x)$ ．

可能的答案:

$(2,\infty )$

$[0,\infty )$

$(-\infty,2)$

$(-\infty ,\infty )$

(0,2)

正确答案:

$(-\infty,2)$

解释：

当输入为负数或0时，对数函数没有定义。因此对数函数的输入必须是正的。这意味着数量 8-4x 必须是积极的。建立适当的不等式之后，我们有，

8-4x>0

-4x>-8

x<2

因此是函数的定义域 f(x)= $\log_{4}(8 - 4x)$ 是时间间隔 $(-\infty,2)$ ．

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示例问题8:指数函数和对数函数

使用对数底数变化公式进行转换 $\log_38$ 取以为底的对数的商．

可能的答案:

$\log_38=\log_4\frac{8}{3}$

$\log_38=\log_43$

$\log_38=\log_4\frac{3}{8}$

$\log_38=\frac{\log_43}{\log_48}$

$\log_38=\frac{\log_48}{\log_43}$

正确答案:

$\log_38=\frac{\log_48}{\log_43}$

解释：

这里我们使用对数底数变化公式

$\log_bx= \frac{\log_cx}{\log_cb}$ ．

因此,我们得到,

$\log_38=\frac{\log_48}{\log_43}$

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例子问题111:之前的微积分

求出函数的定义域 $f(x)=\log_{10}(1+\sqrt{-6-3x})$ ．

可能的答案:

$(-\infty,-2)$

$(2,\infty)$

$(-2,\infty)$

$(-\infty,-2]$

$(-\infty,2]$

正确答案:

$(-\infty,-2]$

解释：

当输入为负数或0时，对数函数没有定义。因此对数函数的输入必须是正的。这意味着数量 $1+\sqrt{-6-3x$ 必须是积极的。然而，这个量总是正的，因为根号下的值不可能是负的。所以我们只受以下约束:

$\sqrt{-6-3x} \geq 0$

$-6-3x \geq0$

$-3x\geq6$

$x\leq-2$

因此是函数的定义域 $f(x)=\log_{10}(1+\sqrt{-6-3x})$ 是时间间隔 $(-\infty,-2]$ ．

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