我们星期六和星期天营业!

现在就打电话建立辅导:

(888) 888 - 0446

微积分预备:复数的幂和根

学习微积分预备课程的概念、例题和解释

创建一个帐户制作测试和抽认卡

所有的微积分资源

12诊断测试 380年实践测试每日问题抽认卡学习的概念

例子问题

←之前 1 2 3. 下一个→

例子问题1:复数的幂和根

求复数的大小 {}(1+3i) ．

可能的答案:

$\sqrt{10}$

${}\sqrt{2}$

$\sqrt{4}$

$\sqrt{3}$

$\sqrt8$

正确答案:

$\sqrt{10}$

解释：

为求复数的大小，我们使用以下公式:

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ ，

复数的形式在哪里 (a+bi) ．

因此,

$|z|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$

报告一个错误

例子问题1:用De Moivre定理求复数的幂

求的大小:

${}(1+3i)^{7}$ ，其中复数满足 ${}i^{2}=-1$ ．

可能的答案:

${}10^{14}\sqrt{10}$

${}10^2\sqrt{10}$

${}10^3\sqrt{10}$

${}10\sqrt{10}$

${}10^7\sqrt{10}$

正确答案:

${}10^3\sqrt{10}$

解释：

注意，对于任何复数z，我们有:

${}|z^n|=|z|^n$ ．

让 {}z=1+i3 ．因此 ${}|z|=\sqrt{10}$

因此:

${}|z^{7}|=|z|^{7}=(\sqrt{10})^{7}=(\sqrt{10})^{6}(\sqrt{10})$

这就是结果。

报告一个错误

例子问题2:用De Moivre定理求复数的幂

的大小是多少 (2+3i)^2 ?

可能的答案:

$\sqrt13$

正确答案:

解释：

为了求一个复数的大小，我们使用下面的公式:

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ ,在那里 (a+bi) ．

因此,我们得到,

$|z|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$ ．

现在去找

$|z|^2=(\sqrt{13})^2$

z=13 ．

报告一个错误

例子问题1:复数的幂和根

简化

$\small (\cos x+i\sin x)^3$

可能的答案:

$\small \small \cos 3x+i\sin3x$

$\small \small \sin 3x+i\cos 3x$

$\small \small 3\cos x+3i\sin x$

$\small \small \cos 3x+i\sin x$

正确答案:

$\small \small \cos 3x+i\sin3x$

解释：

我们可以使用DeMoivre的公式:

$z^n=r^n(\cos n\theta + i \sin n \theta)$

现在代入的值 $\small n=3$ 而且 r=1 我们得到了想要的结果。

$\small (\cos x+i\sin x)^n=(\cos nx+i\sin nx)$

$\cos 3x +i \sin 3x$

报告一个错误

示例问题5:用De Moivre定理求复数的幂

$(3 \sqrt3 -3i) ^ 6$

可能的答案:

23,328 - 23,328 i

-46,656

15,625

23,328 + 23,328 i

46,656

正确答案:

-46,656

解释：

首先将这个点转换为极坐标形式:

$r = \sqrt{(3\sqrt3)^2 + (-3)^2 } = \sqrt{9 \cdot 3 + 9 } = \sqrt{36} = 6$

$\cos \theta = \frac{ 3\sqrt3}{6 } = \frac{\sqrt3}{2}$

$\theta = \cos ^{-1} (\frac{\sqrt3}{2} ) = \frac{ \pi }{6} \enspace \or \enspace \frac{ 11 \pi }{6}$

因为这个数的虚数部是负的实数部是正的，所以它在象限IV，所以角度是 $\frac{ 11 \pi }{6}$

我们正在评估 $(6 \cos \frac{11 \pi }{6} + i \sin \frac{ 11 \pi }{6} ) ^ 6$

使用DeMoivre定理:

DeMoivre定理是

$(\cos(x)+i\sin(x))^n=\cos(nx)+i\sin(nx)$

我们把它应用到我们的情况中，得到。

$6^6 (\cos \frac{ 11 \pi }{6} \cdot 6 + i \sin \frac{ 11 \pi }{6} \cdot 6)$

$\frac{11 \pi }{6} \cdot 6 = 11 \pi$ 哪个是共价的 $\pi$ 因为它是奇数乘

$46,656(\cos \pi + i \sin \pi ) = 46,656 (-1 + 0i) = -46,656$

报告一个错误

示例问题6:用De Moivre定理求复数的幂

评估 $(2 -2 \sqrt3)^6$

可能的答案:

4,096i

4,096

-4,096

正确答案:

4,096

解释：

首先，将这个复数转换为极坐标形式:

$r = \sqrt{2^2 + (2\sqrt3)^2 } = \sqrt{4 +12} = \sqrt{16} = 4$

$\sin \theta = \frac{ -2\sqrt3 }{4} = -\frac{\sqrt3}{2}$

$\theta = \sin ^{-1} (-\frac{\sqrt3}{2}) = \frac{4 \pi }{3} \enspace or \enspace \frac{ 5 \pi }{3}$

因为实部为正虚部为负，这在象限IV，所以角度为 $\frac{5 \pi }{3}$

所以我们在评估 $(4(\cos \frac{5 \pi }{3} + i \sin \frac{5 \pi }{3} ) )^6$

使用DeMoivre定理:

DeMoivre定理是

$(\cos(x)+i\sin(x))^n=\cos(nx)+i\sin(nx)$

我们把它应用到我们的情况中，得到。

$4^6 (\cos \frac{ 5 \pi }{3} \cdot 6 + i \sin \frac{ 5 \pi }{3} \cdot 6 ) = 4,096 ( \cos 10 \pi + i \sin 10 \pi)$

$10 \pi$ 是共终端的因为它是的偶数倍 $\pi$

$4,096( \cos 0 + i \sin 0 ) = 4,096 ( 1 + 0i) = 4,096$

报告一个错误

示例问题7:用De Moivre定理求复数的幂

评估 $(-3 + 3i ) ^{ 12}$

可能的答案:

$-17,006, 112 \sqrt2 + 17,006,112 \sqrt 2 i$

-34,012,224

$17,006,112 \sqrt2 + 17,006,112 \sqrt 2 i$

34,012,224

-531,441

正确答案:

-34,012,224

解释：

首先将复数转换为极坐标形式:

$r = \sqrt{3^2 + (-3)^2 } = \sqrt{9+9} = \sqrt{2 \cdot 9 } = 3 \sqrt2$

$\sin \theta = \frac{3}{3 \sqrt2} = \frac{ 1}{\sqrt2}$

$\theta = \sin ^{-1 } (\frac{1}{\sqrt2}) = \frac{\pi}{4} \enspace or \enspace \frac{ 3 \pi }{4}$

因为实部是负的，虚部是正的，所以这个角应该在象限II，所以它是 $\frac{ 3 \pi }{4}$

我们正在评估 $(3\sqrt2 (\cos \frac{ 3 \pi }{4} + i \sin \frac{ 3 \pi }{4} ) ) ^ {12}$

使用DeMoivre定理:

DeMoivre定理是

$(\cos(x)+i\sin(x))^n=\cos(nx)+i\sin(nx)$

我们把它应用到我们的情况中，得到。

$(3\sqrt2)^{12 } (\cos \frac{ 3 \pi }{4} \cdot 12 + i \sin \frac{3 \pi }{4} \cdot 12 )$ 化简，取指数

$34,012,224 (\cos 9\pi + i \sin 9 \pi )$

$9\pi$ 是共终端的 $\pi$ 因为它是的奇数倍

$34, 012, 224 ( \cos \pi + i \sin \pi ) = 34, 012, 224 ( -1 + 0i) = -34,012, 224$

报告一个错误

例子问题1:用De Moivre定理求复数的幂

用DeMoivre定理求表达式的值 $(\sqrt3 - 3i ) ^ 6$ ．

可能的答案:

正确答案:

解释：

首先将这个复数转换为极坐标形式:

$r = \sqrt{ (\sqrt3)^2 + 1^2 } = \sqrt{ 3 + 1 } = \sqrt4 = 2$

$\sin \theta = \frac{ 1}{ 2}$ 所以 $\theta = \frac{\pi }{6} \enspace or \enspace \frac{5 \pi }{6}$

因为这个数的实部和虚部都是正的，所以它在象限I，所以这个角是 $\frac{ \pi }{6}$

所以我们在评估 $(2(\cos \frac{ \pi }{6} + i \sin \frac{ \pi }{6} ))^3$

使用DeMoivre定理:

DeMoivre定理是

$(\cos(x)+i\sin(x))^n=\cos(nx)+i\sin(nx)$

我们把它应用到我们的情况中，得到。

$2^3 (\cos \frac{3\pi}{6} + i \sin \frac{ 3\pi }{6} ) = 8 ( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{ \pi }{2} ) = 8(0 + i ) = 8i$

报告一个错误

示例问题9:用De Moivre定理求复数的幂

评估: (1-i)^8

可能的答案:

256

16i

128

正确答案:

解释：

首先，把这个复数转换成极坐标形式。

$r= \sqrt{ a^2 + b^2 } = \sqrt{1^2 +(-1)^2 }=\sqrt{2}$

$\sin \theta = \frac{-1}{\sqrt2}$

$\theta = \frac{5 \pi }{4} \enspace or \enspace \frac{7 \pi }{4}$

因为这个点的实部为正虚部为负，所以它位于象限IV，所以角度为 $\frac{7\pi}{4}$ ．

这给了我们 $(\sqrt{2} ( \cos \frac{7 \pi }{4} + i \sin \frac{ 7 \pi }{4} )) ^ 8$

用DeMoivre定理来计算:

DeMoivre定理是

$(\cos(x)+i\sin(x))^n=\cos(nx)+i\sin(nx)$

我们把它应用到我们的情况中，得到。

$(\sqrt2 )^8 ( \cos \frac{ 7 \pi }{4} \cdot 8 + i \sin \frac{ 7 \pi }{4} \cdot 8 )$ 简化

$2 ^ 4 ( \cos 14 \pi + i \sin 14 \pi )$ ， $14 \pi$ 是共终端的因为它是的偶数倍 $\pi$

$2^ 4 (\cos 0 + i \sin 0 ) = 16(1 + 0i) = 16$

报告一个错误

例子问题1:用De Moivre定理求复数的幂

(2 + 2i )^9

可能的答案:

512

11,585.238

8,192 + 8,192 i

11,585.238 i

正确答案:

8,192 + 8,192 i

解释：

首先，将复数转换为极坐标形式:

$r = \sqrt{ 2^2 + 2^2 } = \sqrt{4 + 4 } = \sqrt{2 \cdot 4 } = 2 \sqrt 2$

$\sin \theta = \frac{ 2 }{ 2 \sqrt 2 } = \frac{ 1 }{ \sqrt2 }$

$\theta = \sin ^{-1 } (\frac{ 1}{ \sqrt 2 }) = \frac{ \pi }{4} \enspace or \enspace \frac{ 3 \pi }{4}$

因为实部和虚部都是正的，所以这个角在象限I，所以是 $\frac{ \pi }{4}$

这意味着我们在求值

$(2 \sqrt2 (\cos \frac{ \pi }{4} + i \sin \frac{ \pi }{4} ))^ 9$

使用DeMoivre定理:

DeMoivre定理是

$(\cos(x)+i\sin(x))^n=\cos(nx)+i\sin(nx)$

我们把它应用到我们的情况中，得到。

$(2 \sqrt2 )^9 (\cos \frac{\pi }{4} \cdot 9 + i \sin \frac{ \pi }{4} \cdot 9 )$

首先,评估 $(2\sqrt2)^9$ ．我们可以把它分成 $2^9 \cdot (\sqrt2)^9$ 这相当于 $2^9 \cdot (\sqrt2)^8 \cdot \sqrt2 = 2^9 \cdot 2^4 \cdot \sqrt 2$

我们可以重写中间指数，因为 $\sqrt 2$ 相当于 $2^{\frac{1}{2}}$ ］

这个涉及到 $8,192 \sqrt 2$

求sin和cos在 $\frac{\pi }{4} \cdot 9 = \frac{ 9 \pi }{4}$ 等于在 $\frac{ \pi }{4}$ 自 $\frac{ 9 \pi }{4} - 2 \pi = \frac{9 \pi }{4 } - \frac{ 8 \pi }{4} = \frac{ \pi }{4}$

这意味着我们的表达式可以写成:

$8,192 \sqrt2 ( \cos \frac{\pi }{4} + i \sin \frac{ \pi }{4} ) = 8,192 \sqrt2 (\frac{1}{\sqrt2} + i \frac{ 1}{\sqrt2}) = 8,192 + 8,192i$

报告一个错误

←之前 1 2 3. 下一个→

查看有关微积分的导师

Pankaj
认证导师

德里大学，电气工程师，电气工程。纽约哥伦比亚大学，文学硕士…

查看有关微积分的导师

约书亚
认证导师

美国海军学院，学士，数学。乔治亚大学，数学硕士。

查看有关微积分的导师

平
认证导师

德克萨斯大学达拉斯分校，理学学士，计算机科学。北德克萨斯大学，教育学硕士。

所有的微积分资源

12诊断测试 380年实践测试每日问题抽认卡学习的概念

受欢迎的科目

圣地亚哥的代数导师，在洛杉矶的西班牙语导师，凤凰城生物导师，费城的数学导师，圣地亚哥的GMAT导师，达拉斯沃斯堡的生物导师，波士顿的GRE导师，洛杉矶的GMAT导师，华盛顿特区的SAT辅导老师，洛杉矶的化学导师

流行的测试准备

在达拉斯沃斯堡的GRE考试准备，在旧金山湾区的MCAT考试准备，西雅图的ACT考试准备中心，芝加哥GMAT考试预科学校，在华盛顿准备MCAT考试，芝加哥的SSAT考试预科学校，在费城进行ACT考试准备，在凤凰城进行SSAT考试准备，在休斯顿进行ACT考试准备，芝加哥ISEE考试准备中心

DMCA的抱怨

如果您认为通过本网站提供的内容(定义见我们的服务条款)侵犯了您的一项或多项版权，请向以下指定代理提供包含以下信息的书面通知(“侵权通知”)，以通知我们。如果校导师对侵权通知采取了行动，它将通过该方提供给校导师的最新电子邮件地址(如果有的话)，善意地尝试联系提供该内容的一方。

您的侵权通知可能被转发给提供内容的一方或ChillingEffects.org等第三方。

请注意，如果您对产品或活动侵犯您的版权进行了实质性的虚假陈述，您将承担损害赔偿(包括费用和律师费)的责任。因此，如果您不确定本网站所载或链接的内容侵犯了您的版权，您应考虑首先与律师联系。

请按以下步骤递交通知书:

你必须包括以下内容:

版权所有人或被授权代表其行事的人的实体或电子签名;对被主张侵权的版权的认定;对你声称侵犯版权的内容的性质和确切位置的描述，要有足够的细节，以允许校导师找到并积极识别该内容;例如，我们需要一个指向特定问题的链接(而不仅仅是问题的名称)，其中包含内容和对问题具体部分的描述——图像、链接、文本等——你的投诉所指的是什么;你的姓名、地址、电话号码及电邮地址;以及您的声明:(A)您善意地相信，使用您声称侵犯您版权的内容未得到法律、版权所有人或该版权所有人的代理的授权;(b)您的侵权通知中包含的所有信息都是准确的，以及(c)在作伪证的情况下，您是版权所有人或被授权代表他们行事的人。

将投诉寄交本署指定代理人:

Charles Cohn Varsity Tutors LLC
汉利南道101号300室
密苏里州圣路易斯63105

或者填写下面的表格:

不填写这个字段

联系信息

＊完整的法律名称

公司名称

＊电话号码

＊电子邮件地址

地址

＊Address1

Address2

＊城市

＊状态

＊Zipcode

＊国家

投诉细节

你所代表的版权持有人(如果不是你本人)

＊受版权保护作品的URL(你的原始素材所在的位置)

＊请描述受版权保护的作品，以便于识别

我是所有者，或者是被授权代表据称被侵犯的专有权所有者采取行动的代理人。

这个通知是准确的。

我承认，使用这一程序进行虚假或恶意的版权侵权指控可能会产生不利的法律后果。

＊签名(您的数字签名具有法律约束力)

高中

研究生院

学习

搜索50 +测试

数学辅导

科学辅导

外语

小学辅导

其他

搜索350 +主题

微积分预备:复数的幂和根

学习微积分预备课程的概念、例题和解释

所有的微积分资源

例子问题

例子问题1:复数的幂和根

例子问题1:用De Moivre定理求复数的幂

例子问题2:用De Moivre定理求复数的幂

例子问题1:复数的幂和根

示例问题5:用De Moivre定理求复数的幂

示例问题6:用De Moivre定理求复数的幂

示例问题7:用De Moivre定理求复数的幂

例子问题1:用De Moivre定理求复数的幂

示例问题9:用De Moivre定理求复数的幂

例子问题1:用De Moivre定理求复数的幂

所有的微积分资源

报告这个问题的问题

DMCA的抱怨

联系信息

地址

投诉细节

找到最好的导师

电子邮件地址:
你的名字:
反馈: