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微积分预备:复数的幂与根

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问题41:极坐标和复数

解出 $z^{3}-z^{2}+z=0$ (可能有不止一个解决方案)。

可能的答案:

$0,1,\frac{1}{2}$

$0,\frac{1}{2},\pm \sqrt{3i}$

$0,\frac{1}{2},\pm \frac{\sqrt{3i}}{2}$

$0,\frac{1}{2},\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

正确答案:

$0,\frac{1}{2},\pm \frac{\sqrt{3i}}{2}$

解释：

为了解出根，只要设它等于0然后用二次公式解出z，也就是 $\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}4ac}}{2a}$

$z^{3}-z^{2}+z\rightarrow z\left ( z^{2}-z+1 \right )$ 现在设置两者而且 $z^{2}-z+1$ 等于0，我们就得到了答案 z=0 而且 $z=\frac{1\pm 3i}{2}$ 所以正确答案是 $0,\frac{1}{2},\pm \frac{2\sqrt{3i}}{2}$ ．

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问题42:极坐标和复数

求二次表达式的所有可能解: $m^{2}-6m+12=0$

可能的答案:

$3\pm \sqrt{3}$

$3\pm 3i$

$3\pm 3$

$3\pm \sqrt{3i}$

正确答案:

$3\pm \sqrt{3i}$

解释：

求的复值使用二次公式: $6\pm\sqrt{36-(4)(1)(12)} = \frac{6\pm\sqrt{-12}}{2}=\frac{6\pm2\sqrt{3}i}{2}=3\pm\sqrt{3}i$ ．

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问题43:极坐标和复数

解出 $z^{3}-z^{2}+z=0$ (可能有不止一个解决方案)。

可能的答案:

$0,\frac{1}{2},\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

$0,\frac{1}{2},\pm \sqrt{3i}$

$0,\frac{1}{2},\pm \frac{\sqrt{3i}}{2}$

$0,1,\frac{1}{2}$

正确答案:

$0,\frac{1}{2},\pm \frac{\sqrt{3i}}{2}$

解释：

要解出根，只要设为0，然后解利用二次公式( $\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$ )： $z^{3}-z^{2}+z\rightarrow z(z^{2}-z+1)$ 现在设置两者而且 $z^{2}-z+1$ 等于0，我们就得到了答案 z=0 而且 $z=\frac{1\pm 3i}{2}$ ．

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