微积分预备:求解二次方程
学习微积分预备课程的概念、示例问题和解释
例子问题
示例问题7:利用判别求二次方程的根
使用公式b2- 4ac求下式的判别式:x2+ 5x + 4 = 0。
然后说明它有多少根，以及它们是实的还是虚的。最后，利用二次函数求出方程的精确根。
判别:41
两个虚根:
判别:9
两个实根:x = 1或x = 4
判别:0
一个实根:
判别:9
两个实根:x = -1或x = -4
判别:41
两个虚根:
判别:9
两个实根:x = -1或x = -4
在上式中，a = 1, b = 5, c = 4。因此:
b2- 4ac = (5)2- 4(1)(4) = 25 - 16 = 9。
当判别式大于0时，有两个不同的实根。当判别式等于0时，只有一个实根。当判别式小于零时，就没有实根，而恰好有两个不同的虚根。在这种情况下，我们有两个实根。
最后，我们用二次函数求出这些根。二次函数为:
代入a, b, c的值，我们得到:
这可以简化为:
化简为
这给了我们两个答案:
X = -1或X = -4
这两个x值是给定方程的两个不同的实根。
例子问题1:利用判别求二次方程的根
使用公式b2求- 4ac的判别式:-x2+ 3x - 3 = 0。
然后说明它有多少根，以及它们是实的还是虚的。最后，利用二次函数求出方程的精确根。
判别:8
两个虚根:
判别:8
两个虚根:
判别:-21
两个虚根:
判别:0
一个实根:
判别:-21
两个虚根:
判别:8
两个虚根:
在上式中，a = -1, b = 3, c = -3。因此:
b2- 4ac = (3)2- 4(-1)(-3) = 9 - 12 = -3。
当判别式大于0时，有两个不同的实根。当判别式等于0时，只有一个实根。当判别式小于零时，就没有实根，而恰好有两个不同的虚根。在这种情况下，我们有两个不同的虚根。
最后，我们用二次函数求出这些根。二次函数为:
代入a, b, c的值，我们得到:
这可以简化为:
因为
问题9:利用判别求二次方程的根
使用公式b2- 4ac求下式的判别式:x2+ 2x + 10 = 0。
然后说明它有多少根，以及它们是实的还是虚的。最后，利用二次函数求出方程的精确根。
判别:36
两个实根:x = -5或x = 7
判别:36
两个实根:x = 5或x = -7
判别:-36
两个虚根:
判别:-36
两个虚根:
判别:0
一个实根:x = -1
判别:-36
两个虚根:
在上式中，a = 1, b = 2, c = 10。因此:
b2- 4ac = (2)2- 4(1)(10) = 4 - 40 = -36。
当判别式大于0时，有两个不同的实根。当判别式等于0时，只有一个实根。当判别式小于零时，就没有实根，而恰好有两个不同的虚根。在这种情况下，我们有两个不同的虚根。
最后，我们用二次函数求出这些根。二次函数为:
代入a, b, c的值，我们得到:
这可以简化为:
因为
例子问题10:利用判别求二次方程的根
使用公式b2- 4ac求下式的判别式:x2+ 8x + 16 = 0。
然后说明它有多少根，以及它们是实的还是虚的。最后，利用二次函数求出方程的精确根。
判别:0
一个实根x = -4
判别:0
一个实根x = 0
判别:72
两个不同的实根:
判别:0
一个实根x = 4
判别:128
两个不同的实根:
判别:0
一个实根x = -4
上式中，a = 1, b = 8, c = 16。因此:
b2- 4ac = (8)2- 4(1)(16) = 64 - 64 = 0。
当判别式大于0时，有两个不同的实根。当判别式等于0时，只有一个实根。当判别式小于零时，就没有实根，而恰好有两个不同的虚根。在这种情况下，只有一个实根。
最后，我们用二次函数求出这些精确的根。二次公式为:
代入a, b, c的值，我们得到:
这可以简化为:
化简为
x的值是给定方程的唯一实根。
