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预微积分:计算包含逆切、余割、正割或余切函数的表达式

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例子问题

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问题1:逆三角函数

近似: tan^-^1(99999)

可能的答案:

$\frac{\sqrt2}{2}$

$\frac{\pi}{2}$

$\infty$

正确答案:

$\frac{\pi}{2}$

解释：

tan^-^1(99999) ：

正切函数的范围是有限制的 $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ ．

一个值的正切求其坐标所在的角度 (x,y) 在单位圆上，条件是 $\frac{y}{x}=99999$ ．为了使它在单位圆上有效一定非常接近1，带一个值也非常接近于零，但不能自等于零 $\frac{y}{x}$ 是未定义的。

这一点 (0,1) 位于单位圆上是什么时候 $\theta=\frac{\pi}{2}$ ,但 $tan(\frac{\pi}{2})$ 是无效的，因为在这个角度存在渐近线。

一个非常接近的点的例子 (0,1) 这将产生 $\frac{y}{x}=99999$ 可以写成:

(0.00001,0.99999)

因此，的近似值 tan^-^1(99999) 是 $\frac{\pi}{2}$ ．

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问题2:计算包含逆切、余割、正割或余切函数的表达式

评估:

$cos^-^1\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)+sin^-^1\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)=$

可能的答案:

$\frac{3\pi}{2}$

$\frac{\pi}{2}$

$\frac{\pi}{3}$

正确答案:

$\frac{\pi}{2}$

解释：

的值 $cos^-^1(\frac{\sqrt3}{2})+sin^-^1(\frac{\sqrt3}{2})$ 先解出每一项。

$cos^-^1(\frac{\sqrt3}{2})$

逆余弦函数有定义域和范围限制。

域存在于 [-1,1] ，取值范围为 $[0,\pi]$ ．反余弦函数要求现有坐标的x值为时的角度 $\frac{\sqrt3}{2}$ ．唯一的可能是 $\frac{\pi}{6}$ 因为坐标只能存在于第一象限。

$sin^-^1(\frac{\sqrt3}{2})$

反正弦函数也有定义域和范围限制。

域存在于 [-1,1] ，取值范围为 $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ ．反正弦函数要求的是当现有坐标的y值为时的角度 $\frac{\sqrt3}{2}$ ．唯一的可能是 $\frac{\pi}{3}$ 因为坐标只能存在于第一象限。

因此:

$cos^-^1(\frac{\sqrt3}{2})+sin^-^1(\frac{\sqrt3}{2})= \frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}$

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问题3:计算包含逆切、余割、正割或余切函数的表达式

评估如下:

$f(x)=cos(cos^{-1}(cos(\frac{\pi }{3})))$

可能的答案:

2.537

$\frac{\sqrt{3}}2{}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

1.34235

正确答案:

$\frac{1}{2}$

解释：

对于这个特殊的问题，我们需要回想一下cos的倒数抵消了cos，

$cos^{-1}(cos(\theta ))=\theta$ ．

所以表达式就变成了

$f(x)=cos\left(\frac{\pi }{3}\right)$

从这里，回想一下特定角度的单位圆，比如 $\frac{\pi}{3}$ ．

因此,

$f(x)=cos\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$ ．

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问题4:计算包含逆切、余割、正割或余切函数的表达式

确定 2csc^-^1(2) 在度。

可能的答案:

$15^{\circ}$

$60^{\circ}$

$90^{\circ}$

$\textup{The answer is not given.}$

$30^{\circ}$

正确答案:

$60^{\circ}$

解释：

重写和评估 csc^-^1(2) ．

$csc^-^1(2)=sin^-^1(\frac{1}{2})=\frac{\pi}{6}$

反正弦(1 / 2)等于 $\frac{\pi}{6}$ 自 $\frac{1}{2}$ 当角度是时，坐标的y值是多少 $\frac{\pi}{6}$ ．

$2csc^-^1(2)=2(\frac{\pi}{6})=\frac{\pi}{3}$

若要将弧度转换为角度，请替换 $\pi$ 与180年。

$\frac{\pi}{3}=\frac{180}{3}=60$

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问题5:计算包含逆切、余割、正割或余切函数的表达式

求以下表达式的值: $f(x)=tan(arctan(tan(\frac{\pi}{4})))$

可能的答案:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{1}{2}$

正确答案:

解释：

这看起来很复杂，但一旦实现复合后就会变得容易得多 tan(arctan) 约掉1，就剩下 $tan(\frac{\pi}{4})$ 哪个等于1

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问题6:计算包含逆切、余割、正割或余切函数的表达式

评估: $5sin^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2})$

可能的答案:

$\frac{\pi}{3}$

$\frac{5\pi}{2}$

$\frac{5\sqrt{3}}{2}$

$\frac{5\pi}{3}$

$\pi$

正确答案:

$\frac{5\pi}{3}$

解释：

$arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})=60^\circ\rightarrow \frac{\pi}{3}\rightarrow 5\cdot \frac{\pi}{3}$

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问题7:计算包含逆切、余割、正割或余切函数的表达式

大致如下: arcsin(0.00002)

可能的答案:

0.2

正确答案:

解释：

这是相当简单的知识的单位圆:值非常接近零，其中 arcsin(0)=0 总是

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问题8:计算包含逆切、余割、正割或余切函数的表达式

考虑到 $sin\theta=\frac{3}{4}$ 这 $\theta$ 是急性的，求值为 $cot\theta$ 不用计算器。

可能的答案:

$\frac{\sqrt{7}}{3}$

$3\sqrt{7}$

$4\sqrt{7}$

$\sqrt{7}$

$\frac{3}{\sqrt{7}}$

正确答案:

$\frac{\sqrt{7}}{3}$

解释：

已知正弦表达式中对边和斜边的值(分别为3和4)，我们可以使用勾股定理来找到第三条边(我们将其称为“t”): $t=\sqrt{4^{2}-3^{2}}\rightarrow t=\sqrt{7}$ ．从这里我们可以很容易地推导出 $cot\theta=\frac{\sqrt{7}}{3}$ (邻边除以对边)

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问题9:计算包含逆切、余割、正割或余切函数的表达式

鉴于那 $\sin \theta =\frac{3}{4}$ 这 $\theta$ 是急性的，求值为 $\cot \theta$ 不用计算器。

可能的答案:

$\frac{3}{\sqrt{7}}$

$\sqrt{7}$

$4\sqrt{7}$

$3\sqrt{7}$

$\frac{\sqrt{7}}3{}$

正确答案:

$\frac{\sqrt{7}}3{}$

解释：

已知正弦表达式中对边和斜边的值(分别为3和4)，我们可以使用勾股定理来找到第三条边(我们将其称为“t”): $t=\sqrt{4^{2}-3^{2}}\rightarrow t=\sqrt{7}$ ．

从这里我们可以推导出 $\cot \theta =\frac{\sqrt{7}}{3}$ (邻边除以对边)所以答案是 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ ．

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问题10:计算包含逆切、余割、正割或余切函数的表达式

求以下表达式的值: $f\left ( x \right )=\tan (\arctan (\tan (\frac{\pi }{4})))$

可能的答案:

$\frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

正确答案:

解释：

这其中一个看起来很复杂，但一旦实现了复合，就会变得容易得多 $\tan \left ( \arctan \right )$ 消掉了,剩下的是 $\tan \left ( \frac{\pi }{4} \right )$ 等于，所以答案是．

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