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微积分预备:求包含反正弦或反余弦函数的表达式

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例子问题

例子问题1:反正弦和余弦函数

求以下三角形的角A:

Using_inverse_sin_to_find_angle_of_triangle

可能的答案:

$57^{\circ}$

$13^\circ$

$29^{\circ}$

其他答案都没有

$33^{\circ}$

正确答案:

$33^{\circ}$

解释：

已知这个角的斜边和对边。把这两边联系起来的三角函数是SIN。因此，我们可以写成:

$sin(A) = \frac{12}{22}$

为了解出A，我们需要对两边取逆sin:

$sin^{-1}(sin(A)) = sin^{-1}(\frac{12}{22})$

这就变成了

$A = sin^{-1}\bigg(\frac{12}{22}\bigg) = 33^{\circ}$

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例子问题1:反正弦和余弦函数

考虑 $sin(\theta)=-\frac{1}{2}$ ，在这里是有效的 $\left [ 0,2\pi\right ]$ ．的可能值是多少?

可能的答案:

$-\frac{\pi}{6}$

$\frac{3\pi}{2}$

$\frac{11\pi}{6}$

$None\: of \: the\: other\: answers.$

$-\frac{\pi}{3}$

正确答案:

$\frac{11\pi}{6}$

解释：

通过对两边取反sin来解。

$\theta=sin^-^1\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$

因为这个角在给定的区间内无效，加 $2\pi$ 弧度到这个角度才能在区间内得到一个有效的答案。

$-\frac{\pi}{6}+2\pi = -\frac{\pi}{6}+\frac{12\pi}{6}= \frac{11\pi}{6}$

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例子问题1:反正弦和余弦函数

评估:

$cos^-^1\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)+cos^-^1\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)$

可能的答案:

$\pi$

$-\pi$

正确答案:

$\pi$

解释：

第一次评估 $cos^-^1\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)$ ．

为了求反余弦的值，有必要知道反余弦的定义域和范围。

: $\theta=cos^-^1(x)$

域仅从 [-1,1] ．

$\theta$ 仅从 $[0,\pi]$ ．

这部分要求的是坐标的x值所在的角度 $-\frac{\sqrt3}{2}$ ．单位圆上唯一的可能是第二象限。

$cos^-^1\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)= \frac{5}{6}\pi$

接下来,评估 $cos^-^1\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)$ ．

使用相同的定义域和范围限制，给定x值的唯一有效角度是在单位圆的第一象限。

$cos^-^1\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)= \frac{\pi}{6}$

因此:

$cos^-^1\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)+cos^-^1\left(\frac{\sqrt3}{2}\right) = \frac{5}{6}\pi + \frac{\pi}{6}=\frac{6\pi}{6}=\pi$

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例子问题1:反正弦和余弦函数

评估:

$cos^-^1\left(\frac{1}{2}\right)$

可能的答案:

$\frac{5}{3}\pi$

$\frac{\pi}{5}$

$\frac{\pi}{3}$

$\pi$

$\frac{\pi}{6}$

正确答案:

$\frac{\pi}{3}$

解释：

的正确值 $cos^-^1\left(\frac{1}{2}\right)$ ，需要知道反余弦的定义域和值域。

域: [-1,1]

范围: $[0,\pi]$

问题问的是当x坐标为1 / 2时的特定角度。

唯一的可能是在第一象限，特殊角的点是 $\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt3}{2}\right)$

这个坐标的特殊角度是 $\frac{\pi}{3}$ ．

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示例问题5:反正弦和余弦函数

找到…的价值 $\cos^-^1\left(\frac{1}{2}\right)$ ．

可能的答案:

$-60^\circ$

$300^\circ$

$30^\circ$

$60^\circ$

$120^\circ$

正确答案:

$60^\circ$

解释：

的价值或价值 $cos^-^1(\frac{1}{2})$ ，有必要知道反正弦函数的定义域和值域。

域: [-1,1]

范围: $[0,\pi]$

这个问题要求的是角的值x值在哪里 $\frac{1}{2}$ 在范围限制下。自 $x=\frac{1}{2}$ 位于第一和第四象限，范围限制使只允许从 $[0,\pi]$ ．因此，的值必须只在第一象限。

当x值为时的角度值 $\frac{1}{2}$ 是度。

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示例问题6:反正弦和余弦函数

求函数的反函数

y=csc(x)tan(x) ．

确保最后的表示法只包括 arcsin ， arccos , arctan ．

可能的答案:

$arccos(\frac{1}{x})=y$

$y=arctan(arcsin(\frac{1}{x}))$

$y=arcsin(\frac{1}{x})$

arcsec(x)=y

正确答案:

$arccos(\frac{1}{x})=y$

解释：

解决这个问题最简单的方法是简化原表达式。

$y=csc(x)*tan(x)=\frac{1}{sin(x)}*\frac{sin(x)}{cos(x)}= \frac{1}{cos(x)}$

$y=\frac{1}{cos(x)}$

为了求它的逆矩阵，我们交换一下而且，

$x=\frac{1}{cos(y)}$

解

$\frac{1}{x}=cos(y)$

$arccos(\frac{1}{x})=y$

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