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定量:如何求一个梯形的面积

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例子问题

问题241:平面几何

梯形A和平行四边形B的高度相同。梯形A的底数为10和16;平行四边形B的底数是13。哪个数量更大?

(a)梯形a面积

(b)平行四边形b的面积

可能的答案:

(一)更大。

(a)和(b)相等。

(b)更大。

从所提供的信息无法判断。

正确答案:

(a)和(b)相等。

解释：

让是人物的共同高度。

(a)梯形a的面积为 $A = \frac{1}{2} (B+b) h = \frac{1}{2} (16+10) h = \frac{1}{2} (26) h= 13h$ ．

(b)平行四边形b的面积为

A = bh = 13h ．

这些数字的面积是一样的。

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示例问题5:梯形

在平行四边形 ABCD ， AB = 20 ,找到点在 $\overline{AB}$ 这样 AP = 13 ；找到点在 $\overline{CD}$ 这样 DQ = 8 ．画 $\overline{PQ}$ ．

哪个数量更大?

(a)四边形的面积 APQD

(b)四边形的面积 BPQC

可能的答案:

(b)更大

(一)更大

(a)和(b)相等

根据所提供的信息是无法判断的

正确答案:

(一)更大

解释：

$\overline{PQ}$ 把平行四边形分成两个梯形，每个梯形的高度都和原来的平行四边形一样，我们称之为．

(a)梯形底座 APQD 是 $\overline{AP}$ 而且 $\overline{DQ}$ ． AP = 13, DQ = 8

(b)梯形底座 BPQC 是 $\overline{PB}$ 而且 $\overline{QC}$ ．

平行四边形的对边相等，因此 AB = 20 ， DC= 20 也。

PB = AB -AP = 20 - 13 = 7

QC = DC - DQ = 20-8 = 12

梯形A的底和为21;梯形B的和是19。这两个梯形的高度相同。因此，由于面积是1 / 2乘以高乘以底的和，梯形A的面积会更大。

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示例问题6:梯形

哪个数量更大?

(a)底75厘米和85厘米，高1米的梯形面积。

(b)底8分米，高1米的平行四边形的面积。

可能的答案:

(a)和(b)相等。

(b)更大。

(一)更大。

从所提供的信息无法判断。

正确答案:

(a)和(b)相等。

解释：

最简单的比较方法是将每一项测量换算成厘米，并以平方厘米为单位计算面积。两个人物的身高都是1米或100厘米。

(一)替代 B = 85, b = 75, h = 100 变成面积的公式:

$A = \frac{1}{2} (B + b) h$

$A = \frac{1}{2} \cdot (85 + 75 ) \cdot 100$

$A = \frac{1}{2} \cdot 160 \cdot 100$ ＇

A = 8,000 平方厘米

(b) 8分米等于80厘米，所以这个底数乘以100厘米高:

$A = bh = 80 \cdot 100 = 8,000$ 平方厘米

这些数字的面积是一样的。

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示例问题7:梯形

哪个数量更大?

(a)有底梯形的面积 $3 \frac{1}{2}$ 脚和 $5 \frac{1}{4}$ 身高一米。

(b)有底的平行四边形的面积 $4 \frac{1}{3}$ 身高一米。

可能的答案:

(一)更大。

(b)更大。

从所提供的信息无法判断。

(a)和(b)相等。

正确答案:

(一)更大。

解释：

比较面积最简单的方法可能是将每个尺寸转换为英寸。

(a)底数换算为英尺数乘以12;高度是1码，也就是36英寸。

$3 \frac{1}{2} \times 12 = \frac{7}{2} \times 12 = 42$ 英寸

$5 \frac{1}{4} \times 12 = \frac{21}{4} \times 12 = 63$ 英寸

将梯形的面积代入公式，设 B = 63, b = 42, h = 36 ：

$A = \frac{1}{2} (B + b) h$

$A = \frac{1}{2} \cdot (63 + 42) \cdot 36$

$A = \frac{1}{2} \cdot 105 \cdot 36 = 1,890$ 平方英寸

(b)平行四边形的底为

$4 \frac{1}{3} \times 12 = \frac{13}{3} \times 12 = 52$ ．

用它乘以高度:

$A = bh = 52 \cdot 36 = 1,872$ 平方英寸

梯形的面积更大。

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示例问题8:梯形

哪个数量更大?

(a)上述梯形的面积

(b)边长正方形的面积

可能的答案:

(a)是较大的数量

从所给的信息中不可能确定哪个更大

(b)是较大的数量

(a)和(b)相等

正确答案:

(b)是较大的数量

解释：

一个梯形的面积是它高的乘积的一半，这里是和它的底边长度的和，这里是而且：

$A = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (3x+x)$

$= \frac{1}{2} \cdot x \cdot (4x)$

$= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot x \cdot x$

$= 2x^{2}$

正方形的面积等于边长的平方，这里是：

$A =( 2x) ^{2}= 2^{2}x^{2} = 4 x^{2}$

正方形的面积更大。

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例子问题1:梯形

哪个数量更大?

(a)上述梯形的面积

(b)有对角线的正方形的面积

可能的答案:

(a)和(b)相等

(b)是较大的数量

(a)是较大的数量

从所给的信息中不可能确定哪个更大

正确答案:

(a)和(b)相等

解释：

一个梯形的面积是它高的乘积的一半，这里是和它的底边长度的和，这里是而且：

$A = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (3x+x)$

$= \frac{1}{2} \cdot x \cdot (4x)$

$= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot x \cdot x$

$= 2x^{2}$

正方形的面积，因为它是一个菱形，是它对角线长度的乘积的一半，对角线的长度都是在这里:

$A = \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot 2x$

$= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x$

$= 2x^{2}$

这个梯形和正方形的面积相等。

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示例问题10:梯形

在上图中， $\overline{XY}$ 是梯形的中间部分 TRAP ．梯形的百分之多少 TRAP 被阴影覆盖了吗?

可能的答案:

$36 \%$

$33 \frac{1}{3} \%$

$25 \%$

$37 \frac{1}{2} \%$

正确答案:

$37 \frac{1}{2} \%$

解释：

Midsegment $\overline{XY}$ 将梯形 TRAP 变成两个高度相同的梯形，我们称之为；中间段的长度是底座长度的一半:

$XY = \frac{1}{2} (12 + 36) = \frac{1}{2} \cdot 48= 24$

一个梯形的面积是1 / 2乘以它的高，再乘以它底的长度之和。因此，面积为梯形 TRYX ——阴影的梯形——是

$\frac{1}{2} \cdot h \cdot (TR+XY ) = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (12+24) = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot h = 18 h$

梯形的面积 TRAP 是

$\frac{1}{2} \cdot 2 h \cdot (TR+AP) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot h \cdot (12+36) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 48 \cdot h = 48 h$

梯形的百分比 TRAP 用阴影表示的是

$\frac{18h}{48h} \cdot 100 \% = \frac{18}{48} \cdot 100 \% = 37 \frac{1}{2} \%$

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示例问题11:梯形

在上图中， $\overline{XY}$ 是梯形的中间部分 TRAP ．给出梯形的面积比 XYAP 和梯形的相似 TRYX ．

可能的答案:

20日至13

10 - 3

13 - 6

33岁至19

正确答案:

33岁至19

解释：

Midsegment $\overline{XY}$ 将梯形 TRAP 变成两个高度相同的梯形，我们称之为；中间段的长度是底座长度的一半:

$XY = \frac{1}{2} (12 + 40) = \frac{1}{2} \cdot 52 = 26$ ．

一个梯形的面积是1 / 2乘以它的高，再乘以它底的长度之和。因此，面积为梯形 TRYX 是

$\frac{1}{2} \cdot h \cdot (TR+XY ) = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (12+26 ) = \frac{1}{2} \cdot 38 \cdot h = 19 h$

梯形的面积 XYAP 是

$\frac{1}{2} \cdot h \cdot (XY +AP) = \frac{1}{2} \cdot h \cdot ( 26+40 ) = \frac{1}{2} \cdot 66 \cdot h = 33 h$

面积的比值是

$\frac{33 h}{19h} = \frac{33}{19}$ 或33至19人。

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例子问题2:如何求梯形的面积

在上图中， $\overline{XY}$ 是梯形的中间部分 TRAP ．

哪个数量更大?

(a)梯形面积的三倍 TRYX

(b)梯形面积的两倍 XYAP

可能的答案:

(a)是较大的数量

(a)和(b)相等

从所给的信息中不可能确定哪个更大

(b)是较大的数量

正确答案:

(b)是较大的数量

解释：

Midsegment $\overline{XY}$ 将梯形 TRAP 变成两个高度相同的梯形，我们称之为；中间段的长度是底座长度的一半:

$XY = \frac{1}{2} (12 + 36) = \frac{1}{2} \cdot 48= 24$

一个梯形的面积是1 / 2乘以它的高，再乘以它底的长度之和。因此，面积为梯形 TRYX 是

$\frac{1}{2} \cdot h \cdot (TR+XY ) = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (12+24) = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot h = 18 h$ ．

三倍于此

$3 \cdot 18h = 54 h$ ．

梯形的面积 XYAP 类似地,

$\frac{1}{2} \cdot h \cdot (XY +AP ) = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (24+36 ) = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot h = 30 h$

这是两次

$2 \cdot 30 h = 60 h$ ．

这使得(b)的数量更大。

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示例问题3:如何求梯形的面积

梯形1

图未按比例绘制。

上图描绘了梯形 TRAP 与midsegment $\overline{MN}$ ． MT = 6 , RN = 9 ．

给出梯形的面积 TRAP ．

可能的答案:

360

180

120

240

正确答案:

240

解释：

计算梯形面积的一种方法是把它的中间部分的长度，也就是20，乘以它的高，也就是这里

Midsegment $\overline{MN}$ 将梯形的两条腿一分为二 TRAP ,特别是 $\overline{TP }$ ．自 MT = 6 ， $TP = 2 \cdot MT = 12$ ．

因此，梯形的面积为

$A = TP \cdot MN = 12 \cdot 20 = 240$

注意的长度 $\overline{RN}$ 与问题无关。

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