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ISEE高级定量:和弦

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例子问题

问题131:Isee高级(9 - 12年级)定量推理

和弦1

参照上图。哪个量更大?

(一)

(b) 3

可能的答案:

从所给的信息中不可能确定哪个更大

(b)是较大的量

(a)为较大的量

(a)和(b)相等

正确答案:

(b)是较大的量

解释：

如果两个和弦在一个圆内相交，两个和弦的切割方式使得两个和弦长度的乘积相同，换句话说，

$a \cdot b = 1.5 \cdot 1.5$

或

ab = 2.25

因此, ab <3 ．

例子问题2:如何确定和弦的长度

sec

图不是按比例画的

在上图中，是圆心，和 $\overline{NT}$ 是圆的切线。同样，圆的周长是 $14 \pi$ ．

哪个量更大?

(一)

(b) 25

可能的答案:

(a)和(b)相等

从所给的信息中不可能确定哪个更大

(b)是较大的量

(a)为较大的量

正确答案:

(a)和(b)相等

解释：

$\overline{OT}$ 圆的半径从圆心到切点是多少 $\overline{NT}$ ,所以

$\overline{OT} \perp \overline{NT}$ ，

而且 $\bigtriangleup NTO$ 是直角三角形。腿的长度 $\overline{NT}$ 已知是24岁。另一条腿 $\overline{OT}$ 半径是半径;我们可以用周长除以来求它的长度 $2 \pi$ ：

$OT = r = \frac{C}{2\pi} = \frac{14 \pi}{2\pi} = 7$

斜边的长度， $\overline{NO}$ ，可通过应用勾股定理得到:

$NO = \sqrt{(NT)^{2} + (OT)^{2}}= \sqrt{24^{2} + 7^{2}}=\sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25$ ．

例子问题1:如何确定和弦的长度

和弦1

图不是按比例画的。

参照上图。哪个量更大?

(一)

(b) 7

可能的答案:

(a)和(b)相等

从所给的信息中不可能确定哪个更大

(a)为较大的量

(b)是较大的量

正确答案:

(b)是较大的量

解释：

如果两个和弦在一个圆内相交，两个和弦的切割方式使得两个和弦长度的乘积相同，换句话说，

$t \cdot 4t = 8 \cdot 24$

解：

$4t ^{2} = 192$

$4t ^{2} \div 4 = 192 \div 4$

$t ^{2} = 48$

自 $t ^{2} < 49$ ，因此， $t < \sqrt{49 }$ ,或 t < 7 ．

例子问题1:如何确定和弦的长度

sec

在上图中， $\overline{NT}$ 是圆的切线。

哪个量更大?

(一)

(b) 32

可能的答案:

从所给的信息中不可能确定哪个更大

(b)是较大的量

(a)为较大的量

(a)和(b)相等

正确答案:

(b)是较大的量

解释：

如果一个割线段和一个切线段从圆外面的一点构造成一个圆，到圆沿正切距离的平方等于到圆上两点沿割线距离的乘积;换句话说，

$NA \cdot NB = (NT )^{2}$

$NA \cdot (NA + AB)= (NT )^{2}$

$t \cdot (t+t) = 16 ^{2}$

化简，然后求解：

$t \cdot (2t) = 256$

$2t ^{2} = 256$

$2t ^{2} \div 2 = 256 \div 2$

$t ^{2} = 128$

比较对于32，比较它们的平方就足够了:

NB = NA + AB= t + t = 2t ，那么，应用乘积原理的幂，然后代入，

$(NB)^{2} = (2t) ^{2} = 2^{2} \cdot t^{2} = 4 t ^{2} = 4 \cdot 128 = 512$

$32^{2} = 1,024$

512 < 1,024 ,所以

$(NB)^{2} < 32 ^{2}$ ；

由此可见

NB < 32 ．

例5:如何确定和弦的长度

sec

图不是按比例画的

在上图中， $\overline{NT}$ 是圆的切线。

哪个量更大?

(一)

(b) 8

可能的答案:

(a)为较大的量

从所给的信息中不可能确定哪个更大

(a)和(b)相等

(b)是较大的量

正确答案:

(a)和(b)相等

解释：

如果一个割线段和一个切线段从圆外面的一点构造成一个圆，到圆沿切线的距离的平方等于到圆上两点的距离与割线相交的乘积;换句话说，

$(NT)^{2}= NA \cdot NB$

$(NT)^{2}= NA \cdot (NA+AB)$

$(2t) ^{2} = t (t + 24)$

简化和解决：

$2^{2} \cdot t^{2} = t \cdot t + t \cdot 24$

$4 t^{2} = t ^{2} + 24t$

$4 t^{2} - t ^{2} - 24t = t ^{2} + 24t - t ^{2} - 24t$

$3 t^{2}- 24t = 0$

保理出：

3 t (t-8) = 0

要么 t = 0 ——这是不可能的，因为肯定是正的，还是

t- 8 =0 ，在这种情况下 t = 8 ．

例子问题1:如何确定和弦的长度

和弦1

参照上图。哪个量更大?

(一) $\frac{a}{d}$

(b) $\frac{c}{b}$

可能的答案:

(a)和(b)相等

(b)是较大的量

从所给的信息中不可能确定哪个更大

(a)为较大的量

正确答案:

(a)和(b)相等

解释：

如果两个和弦在一个圆内相交，两个和弦的切割方式使得两个和弦长度的乘积相同，换句话说，

ab = cd

方程两边除以，然后取消:

$\frac{ab }{bd}= \frac{cd}{bd}$

$\frac{a }{d}= \frac{c}{b}$

这两个量相等。

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佛罗里达国际大学，酒店管理和管理理学学士。加州大学，博士…

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