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ISEE高级数学:如何找到一个四面体的表面积

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例子问题

例子问题1:如何求四面体的表面积

正四面体的边长为4。它的表面积是多少?

可能的答案:

$8\sqrt{6}$

$16\sqrt{2}$

$16 \sqrt{3}$

正确答案:

$16 \sqrt{3}$

解释：

正四面体有四个面，每个面都是等边三角形。因此，它的表面积，给定的边长,是

$A = 4 \cdot \frac{s^{2} \sqrt{3}}{4} = s^{2} \sqrt{3}$ ．

替代 s = 4 ：

$A = s^{2} \sqrt{3} = 4^{2} \cdot \sqrt{3} = 16 \sqrt{3}$

例子问题1:四面体

正四面体由四个面组成，每个面都是等边三角形。每条边的长度为16。它的表面积是多少?

可能的答案:

$256 \sqrt{2}$

$341\frac{1}{3}$

256

$256 \sqrt{3}$

$682\frac{2}{3}$

正确答案:

$256 \sqrt{3}$

解释：

正四面体每一面的面积是，这个面是等边三角形

$A = \frac{s^{2}\sqrt{3}}{4}$

将边长16代入：

$A = \frac{16^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{256\sqrt{3}}{4} = 64 \sqrt{3}$

四面体有四个面，所以总表面积是

$SA = 4 \cdot 64 \sqrt{3} = 256 \sqrt{3}$

例子问题1:如何求四面体的表面积

在三维空间中，一个四面体(一个有四个面的实体)的四个顶点具有笛卡尔坐标 (0,0,0), (12,0,0), (0,12,0), (0,0, 12) ．

这个四面体的表面积是多少?

可能的答案:

$216+ 72 \sqrt{2}$

$288 \sqrt{3}$

$216 \sqrt{2} + 72 \sqrt{3}$

$288 \sqrt{2}$

$216+ 72 \sqrt{3}$

正确答案:

$216+ 72 \sqrt{3}$

解释：

四面体看起来是这样的:

四面体

是原点和 A,B,C 是其他三个点，它们在三个(相互垂直的)轴中的一个距离原点12个单位。

其中三个面是直角三角形，两条边的长度为12，所以每条边的面积为

$A = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 = 72$ ．

第四个曲面， $\Delta ABC$ ，有三条边，每条边都是等腰直角三角形的斜边，所以每条边都有长度 $12\sqrt{2}$ 根据45-45-90定理。这使得这个三角形等边，所以它的面积是'

$\frac{(12 \sqrt{2}) ^{2} \sqrt{3}}{4}= \frac{144 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}}{4} = 72 \sqrt{3}$

因此表面积是

$3 \times 72 + 72 \sqrt{3} = 216+ 72 \sqrt{3}$ ．

例子问题2:如何求四面体的表面积

在三维空间中，一个四面体(一个有四个面的实体)的四个顶点具有笛卡尔坐标 (0,0,0), (n,0,0), (0,n,0), (0,0, n) ．

在这方面，给出这个四面体的表面积。

可能的答案:

$4n^{2}$

$2n^{2}$

$\frac{3n^{2}+ n^{2} \sqrt{3}}{2}$

$\frac{3n^{2}+ n^{2} \sqrt{2}}{2}$

$2n^{2}\sqrt{3}$

正确答案:

$\frac{3n^{2}+ n^{2} \sqrt{3}}{2}$

解释：

四面体看起来是这样的:

四面体

是原点和 A,B,C 其他三点是什么呢距离原点的单位，每个单位沿着三个(垂直的)轴之一。

其中三个面是直角三角形，两条边的长度为12，所以每条边的面积为

$A = \frac{1}{2} \cdot n\cdot n = \frac{n^{2}}{2}$ ．

第四个曲面， $\Delta ABC$ ，有三条边，每条边都是一个等腰直角三角形的斜边，所以每个都有长度 $n\sqrt{2}$ 根据45-45-90定理。这使得这个三角形等边，所以它的面积是'

$\frac{(n \sqrt{2}) ^{2} \sqrt{3}}{4}= \frac{n^{2}\cdot 2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{n^{2} \sqrt{3}}{2}$

因此表面积是

$3 \cdot \frac{n^{2}}{2} + \frac{n^{2} \sqrt{3}}{2} = \frac{3n^{2}+ n^{2} \sqrt{3}}{2}$ ．

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桑福德
认证导师

佛罗里达大学，数学学士。空军技术学院工程研究生院

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Jaleesa
认证导师

波莫纳学院，学士，非洲研究。

查看导师

凯特林
认证导师

费尔菲尔德大学，理学学士，生物学，普通。爱尔兰高威大学，神经科学硕士。

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