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ISEE高级数学:四面体

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例子问题

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例子问题1:四面体

一个三角形金字塔，或四面体，体积为100，有四个顶点与笛卡尔坐标

(0,0,0), (n,0, 0), (0,10,0), (0, 0, 5)

在哪里 n > 0 ．

评估．

可能的答案:

n = 24

n = 9

n = 6

n = 18

n = 12

正确答案:

n = 12

解释：

四面体如下图(非按比例图):

四面体

这是一个三角形金字塔，有一个直角三角形，有10条腿和作为它的基础;底的面积是

$B = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot n = 5n$

金字塔的高度是5，所以

$V = \frac{1}{3} \cdot 5n \cdot 5 = \frac{25n}{3}$

设这个等于100：

$\frac{25n}{3} = 100$

$n = 100 \cdot \frac{3}{25} = 12$

例子问题2:四面体

体积为1000的三角形金字塔或四面体有四个顶点，顶点为笛卡尔坐标

(0,0,0), (n,0, 0), (0,n,0), (0, 0, n)

在哪里 n > 0 ．

评估．

可能的答案:

$n = 10 \sqrt[3]{12}$

n = 10

$n = 10 \sqrt[3]{6}$

$n = 10 \sqrt[3]{3}$

$n = 10 \sqrt[3]{2}$

正确答案:

$n = 10 \sqrt[3]{6}$

解释：

四面体如下:

金字塔

这是一个三角形金字塔，有一个直角三角形，有两条腿作为它的基础;底的面积是

$B = \frac{1}{2} \cdot n \cdot n = \frac{n^{2}}{2}$

因为金字塔的高度也是，体积为

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{n^{2}}{2} \cdot n = \frac{n^{3}}{6}$ ．

将其设置为1000:

$\frac{n^{3}}{6} = 1,000$

$n^{3} = 6,000$

$n = \sqrt[3]{6,000} = \sqrt[3]{1,000} \cdot \sqrt[3]{6} = 10 \sqrt[3]{6}$

例子问题3:四面体

一个三角形的金字塔，或四面体，体积为240，有四个顶点与笛卡尔坐标

(0,0,0), (n,0, 0), (0,n,0), (0, 0, 24)

在哪里 n > 0 ．

评估．

可能的答案:

$n = 2 \sqrt{30}$

$n = \sqrt{30}$

$n= 3\sqrt{10}$

$n= 6\sqrt{10}$

$n = 2 \sqrt{15}$

正确答案:

$n = 2 \sqrt{15}$

解释：

四面体如下图(非按比例图):

四面体

这是一个三角形金字塔，有一个直角三角形，有两条腿作为它的基础;底的面积是

$B = \frac{1}{2} \cdot n \cdot n = \frac{n^{2}}{2}$

金字塔的高度是24，所以体积是

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{n^{2}}{2} \cdot 24= 4 n^{2}$

设这个等于240，得到：

$4 n^{2} = 240$

$n^{2} = 60$

$n = \sqrt{60} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{15} = 2 \sqrt{15}$

问题4:四面体

在三维空间中，一个四面体(一个有四个面的实体)的四个顶点具有笛卡尔坐标 (0,0,0), (18,0,0), (9, 18, 0), (9,9, 9) ．

给出它的体积。

可能的答案:

972

486

729

1,458

243

正确答案:

486

解释：

四面体是一个三角形的金字塔，可以这样看。

三个顶点- (0,0,0), (18,0,0), (9, 18, 0) -在平面，并可视为三角形基的顶点。如下图所示，这个三角形是等腰三角形:

底和高都是18，所以它的面积是

$B = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 18 = 162$

第四个顶点在飞机;它与前面提到的面垂直的距离是它的-coordinate, 9，这是金字塔的高度。金字塔的体积是

$V = \frac{1}{3} \cdot 162 \cdot 9 = 486$

例子问题1:四面体

在三维空间中，一个四面体(一个有四个面的实体)的四个顶点具有笛卡尔坐标 (0,0,-N), (12,0,-N), (6, 15, -N), ( 6, 10, N) ,在那里 N > 0 ．

给出它的体积．

可能的答案:

90N

120N

30N

45N

60N

正确答案:

60N

解释：

四面体是一个三角形的金字塔，可以这样看。

三个顶点- (0,0,-N), (12,0,-N), (6, 15, -N) -在水平面上 xy = -N ，可视为三角形底面的顶点。如下图所示，这个三角形是等腰三角形:

底是12，高是15，所以它的面积是

$B = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 15 = 90$

第四个顶点在这个平面外;它与前面提到的面之间的垂直(垂直)距离是坐标, N - (-N) = 2N 这是金字塔的高度。金字塔的体积是

$V = \frac{1}{3} \cdot 90 \cdot 2N = 60N$

例子问题6:四面体

在三维空间中，一个四面体(一个有四个面的实体)的四个顶点具有笛卡尔坐标 (0,0,-3), (20,0,-3), (10, 9, -3), ( 10, 6, 3) ．

给出它的体积．

可能的答案:

正确答案不在其他选项中。

270

180

正确答案:

180

解释：

四面体是一个三角形的金字塔，可以这样看。

三个顶点- (0,0,-3), (20,0,-3), (10, 9, -3) -在水平面上 xy = -3 ，可视为三角形底面的顶点。如下图所示，这个三角形是等腰三角形(不按比例绘制):

底是20，高是9，所以它的面积是

$B = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 9= 90$

第四个顶点在这个平面外;它与前面提到的面之间的垂直(垂直)距离是坐标, 3 - (-3) = 6 这是金字塔的高度。金字塔的体积是

$V = \frac{1}{3} \cdot 90 \cdot 6 = 180$

示例问题7:四面体

在三维空间中，一个四面体(一个有四个面的实体)的四个顶点具有笛卡尔坐标 (0,0,0), (12,0,0), (0,12,0), (0,0, 12) ．

这个四面体的体积是多少?

可能的答案:

576

864

192

144

288

正确答案:

288

解释：

四面体看起来是这样的:

四面体

是原点和 A,B,C 是其他三个点，它们距离原点12个单位，每个点都在三个(相互垂直的)轴上。

这是一个三角形的金字塔，看 $\Delta OCB$ 作为它的基础;该地区底座的重量是腿的一半，或者说

$B = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 = 72$ ．

四面体的体积，本质上是一个金字塔，是它的底和高的乘积的三分之一，后者是12。因此,

$V = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 72 = 288$ ．

例8:四面体

上图是三角形金字塔的底部，它是等边的。 AM = 30 ，金字塔高度为30。金字塔的体积是多少?

可能的答案:

3,000

$4,500\sqrt{3}$

$2,000\sqrt{3}$

$3,000\sqrt{3}$

正确答案:

$3,000\sqrt{3}$

解释：

高度 $\overline{AM}$ 分 $\Delta ABC$ 分成两个30-60-90的三角形。

根据30-60-90定理， $AM = CM \sqrt{3}$ ,或

$CM = \frac{AM}{\sqrt{3}}$

$CM = \frac{30}{\sqrt{3}} = \frac{30\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{30\sqrt{3}}{3}= 10\sqrt{3}$

中点是 $\overline{BC}$ ,所以 $BC = 2 \cdot CM = 2 \cdot 10\sqrt{3}= 20 \sqrt{3}$

三角形底的面积是它的底和高的乘积的一半:

$B = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 20 \sqrt{3}= 300 \sqrt{3}$

金字塔的体积是这个面积和金字塔高度的乘积的三分之一:

$V = \frac{1}{3} \cdot 30 \cdot 300 \sqrt{3} = 3,000\sqrt{3}$

问题9:四面体

正四面体的边长为4。它的表面积是多少?

可能的答案:

$8\sqrt{6}$

$16 \sqrt{3}$

$16\sqrt{2}$

正确答案:

$16 \sqrt{3}$

解释：

正四面体有四个面，每个面都是等边三角形。因此，它的表面积，给定的边长,是

$A = 4 \cdot \frac{s^{2} \sqrt{3}}{4} = s^{2} \sqrt{3}$ ．

替代 s = 4 ：

$A = s^{2} \sqrt{3} = 4^{2} \cdot \sqrt{3} = 16 \sqrt{3}$

例子问题10:四面体

正四面体由四个面组成，每个面都是等边三角形。每条边的长度为16。它的表面积是多少?

可能的答案:

$256 \sqrt{2}$

$256 \sqrt{3}$

$682\frac{2}{3}$

$341\frac{1}{3}$

256

正确答案:

$256 \sqrt{3}$

解释：

正四面体每一面的面积是，这个面是等边三角形

$A = \frac{s^{2}\sqrt{3}}{4}$

将边长16代入：

$A = \frac{16^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{256\sqrt{3}}{4} = 64 \sqrt{3}$

四面体有四个面，所以总表面积是

$SA = 4 \cdot 64 \sqrt{3} = 256 \sqrt{3}$

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