π

下表给出了下面是一些常用的近似值(滥用)为 $\pi$，以及他们的发明者/发现者。

在发现arctan之后$x＝x-\frac{{\mathit{x}}^{3.}}{3.}+\frac{{\mathit{x}}^5}{5}-\frac{{\mathit{x}}^7}{7}+\cdots$大家都拿着石板、粉笔、笔、羊皮纸、棍棒和沙子进行计算;一开始没有袖珍计算器甚至计算尺。

最明显的级数是if$x＝1$；然后

$\mathrm{arctan.}1＝\frac{\pi }{4}＝1-\frac{1}{3.}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots$；

一个很棒的小公式，但它需要上千项才能得到$3.$要么$4$准确的地点 $\pi$．

如果你注意到

$\begin{array}{l}\frac{\pi }{4}＝2\mathrm{arctan.}（\frac{1}{3.}）+\mathrm{arctan.}（\frac{1}{7}）\\ ＝\frac{2}{3.}-\frac{2}{3.\cdot {3.}^{3.}}+\frac{2}{5\cdot {3.}^5}-\cdots +\frac{1}{7}-\frac{1}{3.\cdot 7^{3.}}+\frac{1}{5\cdot 7^5}-\cdots \end{array}$

你确实需要处理两个级数，但它们会更快地“收敛”到π的无理数值。分数是很正常的，但既然 $\pi$是非理性(不是二比整数)，你永远不会完全那样理解它。

兰伯特证明pi的不合理性$1761$．这就排除了$\frac{22}{7}$和$\frac{355}{113}$．

在$\mathrm{1882年}$林德曼证明 $\pi$先验的意思不是任何事物的根源吗多项式方程。这意味着 $\pi$方不$10$， 和 $\pi$立方是不$31$．但这些都是侥幸的!

这几天还有人喜欢的丘德诺弗斯基·布罗瑟斯谁计算出数十亿的地方;仅计算理论是推动质量，不仅是大小，的 $\pi$信封。