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矩阵的行变换

a的行有三种基本操作矩阵当你用矩阵解决线性方程系统．目标通常是让矩阵的左侧部分看起来像单位矩阵．

这三种操作是:

• 切换行
• 将一行乘以一个数
• 添加行

切换行

您可以切换矩阵的行以获取新矩阵。

$\begin{array}{rrr}\hfill ［\begin{array}{rrrr}\hfill 2& \hfill 3.& \hfill -2& \hfill 6\\ \hfill 0& \hfill 0& \hfill 3.& \hfill -6\\ \hfill 1& \hfill 0& \hfill 2& \hfill -3.\end{array}］& \hfill \to & \hfill ［\begin{array}{rrrr}\hfill 1& \hfill 0& \hfill 2& \hfill -3.\\ \hfill 2& \hfill 3.& \hfill -2& \hfill 6\\ \hfill 0& \hfill 0& \hfill 3.& \hfill -6\end{array}］\end{array}$

在上面的示例中，我们移动Row$1$行$2$， 排$2$行$3.$,行$3.$行$1$．这样做的原因是为了得到一个$1$在左上角。)

将一行乘以一个数

您可以按数字乘以任何行。（这意味着将行中的每个条目乘以相同的数字。）

$\begin{array}{rrr}\hfill ［\begin{array}{rrrr}\hfill 1& \hfill 0& \hfill 2& \hfill -3.\\ \hfill 2& \hfill 3.& \hfill -2& \hfill 6\\ \hfill 0& \hfill 0& \hfill 3.& \hfill -6\end{array}］& \hfill \stackrel{R_{3.}：\frac{1}{3.}{R}_{3.}}{\to }& \hfill ［\begin{array}{rrrr}\hfill 1& \hfill 0& \hfill 2& \hfill -3.\\ \hfill 2& \hfill 3.& \hfill -2& \hfill 6\\ \hfill 0& \hfill 0& \hfill 1& \hfill -2\end{array}］\end{array}$

在这个例子中，我们将Row相乘$3.$矩阵的$\frac{1}{3.}$．(这给了我们$1$我们需要在Row$3.$， 柱子$3.$．）

添加行

您还可以将两行添加到一起，并使用结果替换一行。

例如，在最后一个例子的矩阵中，我们可以添加行$2$和$3.$一起，一项接一项:

$\begin{array}{l}\hfill \underset{＿}{\begin{array}{rr}\hfill & \hfill ［\begin{array}{rrrr}\hfill 2& \hfill 3.& \hfill -2& \hfill 6\end{array}］\\ \hfill +& \hfill \\ \hfill & \hfill ［\begin{array}{rrrr}\hfill 0& \hfill 0& \hfill 1& \hfill -2\end{array}］\end{array}}\\ \hfill \begin{array}{rr}\hfill & \hfill ［\begin{array}{rrrr}\hfill 2& \hfill 3.& \hfill -1& \hfill 4\end{array}］\end{array}\end{array}$

然后，我们替换Row$2$与结果。

$\begin{array}{rrr}\hfill ［\begin{array}{rrrr}\hfill 1& \hfill 0& \hfill 2& \hfill -3.\\ \hfill 2& \hfill 3.& \hfill -2& \hfill 6\\ \hfill 0& \hfill 0& \hfill 1& \hfill -2\end{array}］& \hfill \stackrel{R_2：R_2+R_{3.}}{\to }& \hfill ［\begin{array}{rrrr}\hfill 1& \hfill 0& \hfill 2& \hfill -3.\\ \hfill 2& \hfill 3.& \hfill -1& \hfill 4\\ \hfill 0& \hfill 0& \hfill 1& \hfill -2\end{array}］\end{array}$

添加多行

我们说过只有三次行动，结果。但是通过结合使用最后两种操作，我们可以将整个多个行添加到其他行中，以使操作更快。

后退一步，我们有矩阵:

$［\begin{array}{rrrr}\hfill 1& \hfill 0& \hfill 2& \hfill -3.\\ \hfill 2& \hfill 3.& \hfill -2& \hfill 6\\ \hfill 0& \hfill 0& \hfill 1& \hfill -2\end{array}］$

现在不只是添加Row$2$+行$3.$,添加行$2+（2\times \text{排}3.）$：

$\begin{array}{l}\hfill \underset{＿}{\begin{array}{rr}\hfill & \hfill ［\begin{array}{rrrr}\hfill 2& \hfill 3.& \hfill -2& \hfill 6\end{array}］\\ \hfill +& \hfill \\ \hfill & \hfill ［\begin{array}{rrrr}\hfill 0& \hfill 0& \hfill 2& \hfill -4\end{array}］\end{array}}\\ \hfill \begin{array}{rr}\hfill & \hfill ［\begin{array}{rrrr}\hfill 2& \hfill 3.& \hfill 0& \hfill 2\end{array}］\end{array}\end{array}$

然后替换行$2$与结果。

$\begin{array}{rrr}\hfill ［\begin{array}{rrrr}\hfill 1& \hfill 0& \hfill 2& \hfill -3.\\ \hfill 2& \hfill 3.& \hfill -2& \hfill 6\\ \hfill 0& \hfill 0& \hfill 1& \hfill -2\end{array}］& \hfill \stackrel{R_2：R_2+2R_{3.}}{\to }& \hfill ［\begin{array}{rrrr}\hfill 1& \hfill 0& \hfill 2& \hfill -3.\\ \hfill 2& \hfill 3.& \hfill 0& \hfill 2\\ \hfill 0& \hfill 0& \hfill 1& \hfill -2\end{array}］\end{array}$

这样，我们得到$0$在一行$2$， 柱子$3.$．

我们可以再做一次$0$在一行$2$， 柱子$1$．这里，我们乘Row$1$通过$-2$，添加行$2$，将Row替换为$2$与结果。

$\begin{array}{rrr}\hfill ［\begin{array}{rrrr}\hfill 1& \hfill 0& \hfill 2& \hfill -3.\\ \hfill 2& \hfill 3.& \hfill 0& \hfill 2\\ \hfill 0& \hfill 0& \hfill 1& \hfill -2\end{array}］& \hfill \stackrel{R_2：-2R_1+R_2}{\to }& \hfill ［\begin{array}{rrrr}\hfill 1& \hfill 0& \hfill 2& \hfill -3.\\ \hfill 0& \hfill 3.& \hfill -4& \hfill 8\\ \hfill 0& \hfill 0& \hfill 1& \hfill -2\end{array}］\end{array}$

我们将展示更多的步骤，以获得$3.\times 3.$单位矩阵在左边(因此解决系统)。

下一步是添加$\text{排}2+（4\times \text{排}3.）$得到一个$0$在一行$2$， 柱子$3.$．

$\begin{array}{rrr}\hfill ［\begin{array}{rrrr}\hfill 1& \hfill 0& \hfill 2& \hfill -3.\\ \hfill 0& \hfill 3.& \hfill -4& \hfill 8\\ \hfill 0& \hfill 0& \hfill 1& \hfill -2\end{array}］& \hfill \stackrel{R_2：R_2+4R_{3.}}{\to }& \hfill ［\begin{array}{rrrr}\hfill 1& \hfill 0& \hfill 2& \hfill -3.\\ \hfill 0& \hfill 3.& \hfill 0& \hfill 0\\ \hfill 0& \hfill 0& \hfill 1& \hfill -2\end{array}］\end{array}$

接下来，我们需要一行中的零$1$， 柱子$3.$．

$\begin{array}{rrr}\hfill ［\begin{array}{rrrr}\hfill 1& \hfill 0& \hfill 2& \hfill -3.\\ \hfill 0& \hfill 3.& \hfill 0& \hfill 0\\ \hfill 0& \hfill 0& \hfill 1& \hfill -2\end{array}］& \hfill \stackrel{R_1：R_1-2R_{3.}}{\to }& \hfill ［\begin{array}{rrrr}\hfill 1& \hfill 0& \hfill 0& \hfill 1\\ \hfill 0& \hfill 3.& \hfill 0& \hfill 0\\ \hfill 0& \hfill 0& \hfill 1& \hfill -2\end{array}］\end{array}$

最后一步是第二个运算的应用，一行乘以一个数字。

$［\begin{array}{rrrr}\hfill 1& \hfill 0& \hfill 0& 1\\ \hfill 0& \hfill 3.& \hfill 0& 0\\ \hfill 0& \hfill 0& \hfill 1& -2\end{array}］\stackrel{\frac{1}{3.}{R}_{3.}}{\to }［\begin{array}{rrrr}\hfill 1& \hfill 0& \hfill 0& 1\\ \hfill 0& \hfill 1& \hfill 0& 0\\ \hfill 0& \hfill 0& \hfill 1& -2\end{array}］$

我们现在有了三重解$（1，0，-2）$．

重要提示:如果由原始矩阵表示的等式表示相同或平行的行，则您将无法使用这些行操作获取身份矩阵。在这种情况下，解决方案要么不存在，要么对系统无限很多解决方案。