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高中数学:理解渐近线

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例子问题

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例子问题1:指数方程的求解与绘图

$y=\frac{x^2-9}{x^2-16}$

这个方程的y轴截距是多少?

可能的答案:

y=3,-3

$y=\frac{16}{9}$

$y=\frac{9}{16}$

y=0

y=4,-4

正确答案:

$y=\frac{9}{16}$

解释:

求y轴截距，设值等于和解决。

$y=\frac{x^2-9}{x^2-16}$

$y=\frac{(0)^2-9}{(0)^2-16}$

$y=\frac{-9}{-16}$

$y=\frac{9}{16}$

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例子问题1:指数方程的求解与绘图

$y=\frac{4x^2-2}{2x^3-27}$

这个方程的水平渐近线是什么?

可能的答案:

y=1

y=0

没有水平渐近线。

$y=\frac{1}{2}$

y=2

正确答案:

y=0

解释:

在寻找水平渐近线时，检查变量的指数。因为分母上的变量的指数比分子上的变量的指数高，水平渐近线将在 y=0 ．

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例子问题1:理解渐近线

$y=\frac{4x^2-2}{2x^3-27}$

方程的垂直渐近线是什么?

可能的答案:

$x=\frac{1}{2}$

$x=\frac{3\sqrt[3]{4}}{2}, -\frac{3\sqrt[3]{4}}{2}$

$x=\frac{3}{2}$

$x=\frac{2}{3}$

$x=\frac{3\sqrt[3]{4}}{2}$

正确答案:

$x=\frac{3\sqrt[3]{4}}{2}$

解释:

为了找到垂直渐近线，将分母设为零并求解。

0=2x^3-27

27=2x^3

$\frac{27}{2}=x^3$

$\sqrt[3]{\frac{27}{2}}=\sqrt[3]{x^3}$

${\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]2}}=\sqrt[3]{x^3}$

$\frac{3}{\sqrt[3]{2}}=x$

然而，我们需要从这里开始合理化。我们需要消去分母上的立方根。

$(\sqrt[3]{2})^3=\sqrt[3]{2}*\sqrt[3]{2}*\sqrt[3]{2}$ ．

因此:

$\frac{3}{\sqrt[3]{2}}*\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}}*\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}}=x$

$\frac{3*(\sqrt[3]{2})^2}{(\sqrt[3]{2})^3}=x$

把指数从分子移到根号下面

$\frac{3\sqrt[3]{2^2}}{2}=x$

简化:

$\frac{3\sqrt[3]{4}}{2}=x$

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例子问题1:指数方程的求解与绘图

$y=\frac{x-3}{x^2-12}$

这个方程的水平渐近线是多少?

可能的答案:

y=3

y=1

没有水平渐近线。

$y=\sqrt{12}$

y=0

正确答案:

y=0

解释:

为了找到水平渐近线，我们比较的指数在我们的分数。因为分母变量的指数大于分子变量的指数，我们的水平渐近线是 y=0 ．

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示例问题5:指数方程的求解与绘图

$y=\frac{x-3}{x^2-12}$

方程的垂直渐近线是什么?

可能的答案:

x=0

$x=\sqrt{12}$

没有垂直渐近线。

x=3

$x=2\sqrt{3},-2\sqrt{3}$

正确答案:

$x=2\sqrt{3},-2\sqrt{3}$

解释:

为了找到垂直渐近线，我们设分母为零。

0=x^2-12

12=x^2

$\sqrt{12}=\sqrt{x^2}$

$\sqrt{4*3}=x$

因为平方根只给出绝对值，所以我们的答案是:

$x=2\sqrt{3}, -2\sqrt{3}$

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例子问题1:理解渐近线

$y=\frac{3x^2-5}{2x^2+7}$

这个方程的水平渐近线是什么?

可能的答案:

$y=\frac{3}{2}$

$y=\frac{2}{3}$

没有水平渐近线。

y=1

y=0

正确答案:

$y=\frac{3}{2}$

解释:

因为分子和分母变量的指数相等，水平渐近线就是分子变量的系数除以分母变量的系数。

对于这个问题，既然我们有 $\frac{3x^2}{2x^2}$ ，渐近线是 $y=\frac{3}{2}$ ．

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例子问题1:指数方程的求解与绘图

$y=\frac{3x^2-5}{2x^2+7}$

方程的垂直渐近线是什么?

可能的答案:

没有真正的垂直渐近线。

$x=\frac{7}{2}$

$x=-\sqrt{\frac{7}{2}}, \sqrt{\frac{7}{2}}$

没有垂直渐近线。

$x=-\sqrt{\frac{7}{2}}$

正确答案:

没有真正的垂直渐近线。

解释:

为了找到垂直渐近线，我们设分母为零并求解。

$0={2x^2+7}$

-7=2x^2

$\frac{-7}{2}=x^2$

$\sqrt{-\frac{7}{2}}=\sqrt{x^2}$

$\sqrt{-\frac{7}{2}}=x$

因为我们要找的是一个负数，所以没有实数解。因此，没有真正的垂直渐近线。

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例子问题1:理解渐近线

$y=\frac{x^2-64}{x+2}$

这个方程的垂直渐近线是什么?

可能的答案:

这个函数没有真正的垂直渐近线。

x=-2

x=0

x=8,-8

x=2,-2

正确答案:

x=-2

解释:

为了找到垂直渐近线，我们设分母为零。

0=x+2

-2=x

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示例问题3:理解渐近线

$y=\frac{x^2-9}{x^2-16}$

这个方程的水平渐近线是多少?

可能的答案:

没有水平渐近线。

y=2

y=1

y=3

y=0

正确答案:

y=1

解释:

看看变量的指数。分子和分母都是 1x^2 ．因此水平渐近线的计算方法是分子系数除以分母系数。

$y=\frac{1}{1}=1$

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例子问题1:理解渐近线

的垂直渐近线 $y=\frac{x^2+9x+8}{x^2-44}$ ．

可能的答案:

这个函数没有真正的垂直渐近线。

$x=2\sqrt{11}$ 而且 $x=-2\sqrt{11}$

x=-1 而且 x=-8

$x=2\sqrt{11}$

x=1

正确答案:

$x=2\sqrt{11}$ 而且 $x=-2\sqrt{11}$

解释:

为了找到垂直渐近线，我们将分数的分母设为零，因为任何数除以零都没有定义。

取已知的方程， $y=\frac{x^2+9x+8}{x^2-44}$ ，现在设置分母为零:

0=x^2-44

44=x^2

$\sqrt{44}=\sqrt{x^2}$

不是完全平方，但我们看看能不能得出什么。

$\sqrt{4*11}=\sqrt{x^2}$

$\sqrt{4}*\sqrt{11}=\sqrt{x^2}$

$2\sqrt{11}=x$

别忘了还有一个消极的结果:

$x=-2\sqrt{11}$ ．

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