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高中数学:指数

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例子问题

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问题1:指数

下面哪个是等价的 $3^{-2}$ ？

可能的答案:

$\frac{1}{6}$

$\frac{1}{9}$

正确答案:

$\frac{1}{9}$

解释：

根据定义,

$b^{-x} = \frac{1}{b^{x}}$ ．

在我们的问题中， b = 3 和 x = 2 ．

然后，我们有 $\frac{1}{3^{2}} = \frac{1}{9}$ ．

问题1:指数

解出：

$(x+5)^{-3} = -1$

可能的答案:

正确答案:

解释：

方程两边取的倒数消掉方程左边的指数。

$\rightarrow ((x+5)^{-3})^{-\frac{1}{3}} = (-1)^{-\frac{1}{3}}$

$\rightarrow x+5 = -1$

减去双方:

$\rightarrow (x+5) - 5 = (-1)-5$

$\rightarrow x = -6$

问题1:指数

将指数转换为根式表示法。

$x^{\frac{3}{7}}$

可能的答案:

$\small \frac{x^3}{x^7}$

$\small \frac{1}{x^4}$

$\small \small \sqrt[3]{x^7}$

$\small \small \sqrt[7]{x^3}$

正确答案:

$\small \small \sqrt[7]{x^3}$

解释：

记住，分母上的指数指的是项的根，而分子上的指数可以正常处理。

$x^{\frac{a}{b}}=\sqrt[b]{x^a}$

$x^{\frac{3}{7}}=\sqrt[7]{x^3}$

问题1:指数

下面哪个是等价的 $64^{\frac{1}{2}}$ ？

可能的答案:

$\frac{1}{32}$

正确答案:

解释：

根据定义，一个数上升到 $\frac{1}{2}$ 幂等于这个数的平方根。

因为64的平方根等于8，所以8是解。

问题1:指数

简化表达式:

$\small (16^{\frac{1}{2}})(256^{\frac{3}{4}})$

可能的答案:

1024

256

正确答案:

256

解释：

记住分数指数和根号是一样的。

$\small 16^{\frac{1}{2}}=\sqrt{16}=4$

$256^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{256^3}=64$

一个捷径是将这些项表示为指数，然后寻找机会消去。

$16^{\frac{1}{2}}=(4^2)^{\frac{1}{2}}=4$

$\small 256^{\frac{3}{4}}=(4^4)^{\frac{3}{4}}=4^3=64$

无论哪种方法，我们都需要乘以两项。

$\small (4)(64)=256$

问题1:简化指数

简化下面的表达式。

$\frac{4x^3y^8z^2}{8x^6y^2z^4}$

可能的答案:

$\frac{y^4}{2x^2z^2}$

$\frac{y^6}{2x^3z^2}$

$\frac{4y^6}{8x^3z^2}$

$\frac{4y^4}{8x^2z^2}$

正确答案:

$\frac{y^6}{2x^3z^2}$

解释：

用指数除时，分母上的指数减去分子上的指数。例如: $\frac{x^3}{x^6}= x^{3-6}=x^{-3}=\frac{1}{x^3}$ ．

在我们的问题中，每一项都可以这样处理。记住，负指数可以移到分母上。

$\frac{4x^3y^8z^2}{8x^6y^2z^4}=\frac{4}{8}x^{-3}y^6z^{-2}=\frac{4y^6}{8x^3z^2}$

现在，简化数字。

$\frac{4y^6}{8x^3z^2}=\frac{y^6}{2x^3z^2}$

问题1:简化指数

简化下面的表达式。

$2^{3} \cdot 2^{6}$

可能的答案:

$4^{9}$

$6^{6}$

$4^{18}$

$2^{18}$

$2^{9}$

正确答案:

$2^{9}$

解释：

我们得到: $2^{3} \cdot 2^{6}$ ．

回想一下，当我们用相同底数的指数相乘时，我们保持底数不变，然后把指数相加。

因此，我们有 $2^{3 + 6} = 2^{9}$ ．

问题1:简化指数

简化下面的表达式。

$\frac{2^{9}}{2^{11}}$

可能的答案:

$\frac{1}{2^{2}}$

$2^{2}$

$\frac{9}{11}$

$\frac{18}{22}$

$2^{\frac{9}{11}}$

正确答案:

$\frac{1}{2^{2}}$

解释：

回想一下，当我们用相同的底数除指数时，我们保持底数不变，然后减去指数。

因此，我们有 $\frac{2^{9}}{2^{11}} = 2^{9 - 11} = 2^{-2}$ ．

我们还记得，对于负指数，

$b^{-x} = \frac{1}{b^{x}}$ ．

因此, $2^{-2} = \frac{1}{2^{2}}$ ．

问题4:乘除指数

化简下面的指数表达式:

$(\frac{a^{\frac{-3}{2}}}{3^6b^{\frac{-2}{3}}})^{\frac{-1}{2}}$

可能的答案:

$\frac{3a^{\frac{3}{4}}}{b^{\frac{1}{3}}}$

$\frac{27a^{\frac{3}{4}}}{b^{\frac{1}{3}}}$

$\frac{a^{\frac{3}{4}}}{b^{\frac{1}{3}}}$

$\frac{9a^{\frac{3}{4}}}{b^{\frac{1}{3}}}$

$\frac{18a^{\frac{3}{4}}}{b^{\frac{1}{3}}}$

正确答案:

$\frac{27a^{\frac{3}{4}}}{b^{\frac{1}{3}}}$

解释：

首先重新排列分子和分母中的项，使指数为正:

$(\frac{a^{\frac{-3}{2}}}{3^6b^{\frac{-2}{3}}})^{\frac{-1}{2}}$

$(\frac{3^6b^{\frac{-2}{3}}}{a^{\frac{-3}{2}}})^{\frac{1}{2}}$

$(\frac{3^6a^{\frac{3}{2}}}{b^{\frac{2}{3}}})^{\frac{1}{2}}$

将指数相乘:

$(\frac{3^3a^{\frac{3}{4}}}{b^{\frac{1}{3}}})$

简化:

$\frac{27a^{\frac{3}{4}}}{b^{\frac{1}{3}}}$

问题1:简化指数

简化表达式:

$x^3 + \frac{2x^2}{x^{-1}}$

可能的答案:

x^3+2

3x^3

$x^3+\frac{2}{x^3}$

x^3+2x

x^3+2x^2

正确答案:

3x^3

解释：

首先化简第二项，然后将两者结合:

$x^3 + \frac{2x^2}{x^{-1}}$

$= x^3 + 2x^{2-(-1)} = x^3 + 2x^3 = 3x^3$

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