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GRE科目考试:物理:狭义相对论

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33练习测试今日问题抽认卡从概念中学习

例子问题

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例子问题1:狭义相对论

双胞胎悖论中双胞胎的年龄差异发生在旅行中的哪个关键时刻?

可能的答案:

这些都不是

在旅途开始时，旅行速度很快。

在太空中接近黑洞时。

在返回地球的这段时间里，速度很快。

在改变方向和返回地球的过程中，有很大的加速度。

正确答案:

在改变方向和返回地球的过程中，有很大的加速度。

解释：

虽然移动的时钟确实记录了以不同速率移动的时间，但时间膨胀是双向的。这意味着一个静止的人会看到一个移动的时钟走得更慢，但与此同时，一个沿着移动的时钟移动的人会看到静止的时钟走得更慢。然而，经历巨大加速度的时钟将被永久地改变，相对于没有加速的时钟，“失去”时间。因此，年龄差异发生在旅行者为了返回地球而加速的那部分旅程中。

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例子问题1:狭义相对论

黑洞是一种引力场强到连光都无法逃脱的物体。假设半径不变，我们的太阳大约要有多少质量才能成为黑洞?

太阳的半径: $R=6.963\times10^{8}\,\textup{m}$

可能的答案:

$2\times10^{30}\,\textup{kg}$

$1.5\times10^{27}\,\textup{kg}$

$3\times10^{40}\,\textup{kg}$

$1\times10^{35}\,\textup{kg}$

$5\times10^{35}\,\textup{kg}$

正确答案:

$5\times10^{35}\,\textup{kg}$

解释：

为了求出黑洞的史瓦西半径，设引力势能等于逃逸速度下的动能:

$\frac{GMm}{r}=\frac{1}{2}mc^2$

黑洞质量的解:

$M=\frac{rc^2}{2G}=\frac{(6.963\times 10^8 \textup{m})(2.998\times 10^8 \textup{m\,s}^{-1})^2}{2(6.674 \times 10^{-11}\textup{m}^3\,\textup{kg}^{-1}\textup{s}^{-2})} =5\times10^{35}\,\textup{kg}$

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例子问题1:狭义相对论

在某一时刻，有一对双胞胎已经30岁了。在这个时候，他们中的一个人乘坐火箭，以0.8摄氏度的温度飞行，他经历了12年。当旅行的双胞胎回到家时，留在地球上的双胞胎多大了?

可能的答案:

50岁

42岁

37岁

70岁

正确答案:

50岁

解释：

时间膨胀方程为:

$T'=\frac{T}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

本题中v=0.8c T=12。利用这个方程，我们得到:

$T'=\frac{12}{\sqrt{1-(\frac{4}{5})^2}}=\frac{12}{\sqrt{1-\frac{16}{25}}}=\frac{12}{\sqrt{\frac{9}{25}}} =\frac{12}{\frac{3}{5}}=(12)(\frac{5}{3})=20$

在30岁的基础上再加20岁:

30+20=50

这位地球双胞胎现在已经50岁了。

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例子问题1:狭义相对论

与x轴成30度角的米尺的运动速度为0.6c在正y轴的方向上。对于一个静止的观察者来说，米尺看起来有多长?

可能的答案:

$\sqrt{\frac{31}{42}}\textup{m}$

$\frac{1}{5}\sqrt{\frac{29}{2}}\textup{m}$

$\frac{4}{5}\textup{m}$

$\frac{\sqrt{91}}{10}\textup{m}$

$1\textup{m}$

正确答案:

$\frac{\sqrt{91}}{10}\textup{m}$

解释：

长度收缩只发生在运动方向上。这意味着长度的x分量，也就是cos(30)不变;长度收缩只发生在y分量上，也就是sin30。

首先，我们找到洛伦兹因子:

$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{9}{25}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{16}{25}}}=\frac{5}{4}$

接下来，我们将时间膨胀方程应用于y方向上的长度:

$L'_y=L_{y}/ \gamma=\frac{4}{5}\sin(30)=\frac{2}{5}$

最后，我们将长度收缩后的y分量和不变的x分量结合起来，得到总长度:

$L=\sqrt{L_x^2+L'_y^2}=$ $\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{4}{25}}=\frac{\sqrt{91}}{10}$

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例子问题1:狭义相对论

一枚5米长的火箭从地球上的观察者身边经过。观察者测量经过的火箭有3米长。在地球观察者的参考系中火箭的速度是多少?

可能的答案:

1.25c

0.8 c

0.6c

0.4c

0.75c

正确答案:

0.8 c

解释：

长度收缩由

$L_{rest}=\gamma L_{move}$

在这种情况下，

$L_{rest}=5\textup{m}, \,\,\,L_{move}=3\textup{m}$

洛伦兹因子为:

$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$

结合这两个方程，我们得到:

$L_{rest}=\frac{L_{move}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

求解v:

$v=c\sqrt{1-\left ( \frac{L_{move}}{L_{rest}}\right )^2}= c\sqrt{1-\left ( \frac{3}{5}\right )^2}= c\sqrt{1-\left ( \frac{9}{25}\right )}$

$= c\sqrt{\left( \frac{16}{25}\right )}=\frac{4}{5}c=0.8c$

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例子问题1:狭义相对论

相对粒子相对的质量粒子米总能量是静止能量的37倍。粒子的动量是多少，单位是mc?

可能的答案:

144

正确答案:

解释：

总能量E相对论性粒子的能量与其静止质量能量有关E_o由:

$E=\gamma E_{o}$

其中gamma与动量的关系为:

$p=\gamma mc$

结合方程求解p，得到:

$p=\frac{E}{E_{o}}mc=37 mc$

在指定的单位中，是37。

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例子问题1:狭义相对论

质量粒子米以相对论速度运动的动量是50mc．总能量是多少E粒子的能量，用静止质量能量的单位表示E_o?

可能的答案:

$5\sqrt{2}E_o$

5 E_o

75 E_o

50 E_o

2500 E_o

正确答案:

50 E_o

解释：

对于相对论性粒子，动量由:

$p=\gamma mc$

从中我们可以解出

$\gamma=\frac{p}{mc}=\frac{50 mc}{mc}=50$

相对论粒子的总能量为:

$E=\gamma E_{o}=50E_{0}$

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例子问题1:狭义相对论

静止质量能量 E_o 有质量的粒子总能量的四分之一．粒子动量的单位是多少?

可能的答案:

$\sqrt{15}$

$\sqrt{3}$

正确答案:

$\sqrt{15}$

解释：

这个问题告诉我们:

$E=4E_{o}$

其中，粒子的静止质能为:

$E_{o}=mc^{2}$

利用粒子总能量的方程，我们可以代入:

$E=\sqrt{p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}$

$4mc^2=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}$

解这个方程，我们发现:

$p=\sqrt{15m^2c^2}=\sqrt{15}\,\,mc$

单位是mc,给出了正确答案。

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例子问题1:能量和动力

有质量的粒子的相对动量是 3mc ．总能量是多少以静止质量能量为单位 E_o ?

可能的答案:

$\sqrt{10}E_{o}$

$2E_{o}$

$\sqrt{2}E_{o}$

$4E_{o}$

$10E_{o}$

正确答案:

$\sqrt{10}E_{o}$

解释：

相对论粒子的总能量为:

$E=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}$

代入动量，我们得到:

$E=\sqrt{9m^2c^4+m^2c^4}=\sqrt{10}mc^2$

因为粒子的静止质量能量由:

$E_{o}=mc^2$

总能量为:

$E=\sqrt{10}E_{o}$

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例子问题1:能量和动力

一位科学家测量从黑洞发射出的相对论性喷射物的光谱。他发现，某条谱线的固定波长为212.5 nm，其多普勒偏移波长为643.7 nm。相对论性射流的径向速度是多少?

可能的答案:

$2.4*10^8 \frac{m}{s} \textup{ towards the Earth}$

$2.2*10^8 \frac{m}{s}\textup{ away from the Earth}$

$2.2*10^8 \frac{m}{s}\textup{ towards the Earth}$

$3.2*10^8 \frac{m}{s} \textup{ towards the Earth}$

$2.4*10^8 \frac{m}{s} \textup{ away from the Earth}$

正确答案:

$2.4*10^8 \frac{m}{s} \textup{ away from the Earth}$

解释：

相对论多普勒频移方程为:

$\lambda_{moving}=\frac{\sqrt{1+\beta}}{\sqrt{1-\beta}}\lambda_{stationary}$

在哪里 $\beta$ 定义为:

$\beta=\frac{v_{source}}{c}$

因为静止波长比运动波长短，物体一定是在远离地球，这样就排除了两个答案。

光速大约是 $3*10^8 \frac{m}{s}$ ,所以 $3.2*10^8 \frac{m}{s}$ 这不是一个可能的答案。

做一个近似

$\frac{\lambda_{m}}{\lambda_{s}}=\frac{643.7}{212.5}\approx3$

结合第一个方程:

$\frac{\lambda_m}{\lambda_s}=\frac{\sqrt{1+\beta}}{\sqrt{1-\beta}}=3$

$3\sqrt{1-\beta}=\sqrt{1+\beta}$

$9(1-\beta)=1+\beta$

$9-9\beta=1+\beta$

$10\beta=8,\,\,\,\beta=0.8$

由beta，我们可以得到速度:

$\beta=\frac{v_{source}}{c}\rightarrow v_{source}=\beta c=(0.8)(3\times10^8 \frac{m}{s})=2.4\times10^8 \frac{m}{s}$

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