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例子问题

例子问题1:对数的性质

将下面的表达式重写为一个对数

$5log_35x+log_3\frac{1}{4x^3}-log_3x^2$

可能的答案:

6.06

log_33125x

3.076

$log_3\frac{3125x^3}{4}$

$log_3\frac{3125x^3}{9}$

正确答案:

6.06

解释：

回忆一下对数的一些性质:

1.当加上底的对数时，我们在里面乘以。

2.当减去同底数的对数时，我们在里面除以。

3.当对数乘以一个数时，我们可以把里面的数取这个幂。

所以我们从这个开始:

$5log_35x+log_3\frac{1}{4x^3}-log_3x^2$

我从3开始化简第一个log。

$log_3(5x)^5+log_3\frac{1}{4x^3}-log_3x^2$

$log_33125x^5+log_3\frac{1}{4x^3}-log_3x^2$

接下来，对前两个日志使用规则1。

$log_3\left(3125x^5\cdot\frac{1}{4x^3}\right)-log_3x^2$

$log_3\left(\frac{3125x^2}{4}\right)-log_3x^2$

然后，使用规则2将这两者结合起来。

$log_3\left(\frac{3125x^2}{4x^2}\right)=log_3\left(\frac{3125}{4}\right)\approx 6.06$

所以答案是6.06。

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示例问题7:对数

$Rewrite\ as\ one\ log: [log(x)+log(z)]-log(y)$

可能的答案:

$log\left (\frac{x+z}{y} \right )$

$log\left (\frac{xz}{y} \right )$

$log\left ({xz}-{y} \right )$

$log\left (\frac{xy}{z} \right )$

正确答案:

$log\left (\frac{xz}{y} \right )$

解释：

当把对数组合成一个对数时，我们必须记住加法和乘法是相连的，减法和除法是相连的。

log(ab)=log(a)+log(b)

$log\left (\frac{a}{b} \right )=log(a)+log(b)$

在这种情况下，我们有乘法和除法，所以我们假设任何负数，都必须放在分数的底部。

[log(x)+log(z)]-log(y)=log(xz)-log(y)

$log(xz)-log(y)=log\left ( \frac{xz}{y} \right )$

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例8:对数

$Rewrite\ in\ log\ form: 12^(^x^+^2^)=y$

可能的答案:

$log_{12}(y)=x+2$

$log_{12}(x+2)=y$

$log_{x+2}(y)=12$

$log_{y}(12)=x+2$

正确答案:

$log_{12}(y)=x+2$

解释：

当将指数函数重写为对数函数时，我们必须遵循下面的模型:

$log_{base}(result)=exponent$

log是用来求指数的。以上对应于下面的指数形式:

base^(^e^x^p^o^n^e^n^t^)=result

$12^(^x^+^2^)=y\ rewritten\ in\ log\ form\ becomes:$

$log_{12}(y)=x+2$

$The\ base\ is\ 12,\ the\ exponent\ is\ (x+2)\ and\ the\ result\ is\ y.$

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问题9:对数

$Rewrite\ in\ exponential\ form: log_{3}(22)=y$

可能的答案:

3^y=22

y^3=22

3^2^2=y

22^y=3

正确答案:

3^y=22

解释：

为了重写日志，我们必须记住它们遵循的模式:

$log_{base}(result)=exponent$

在这个问题中，我们有:

$log_{3}(22)=y$

$The\ base\ is\ 3,\ the\ exponent\ is\ y\ and\ the\ result\ is\ 22.$

$We\ now\ rewrite\ this\ as:\ 3^y=22$

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例子问题10:对数

表达 $4\log_4 (x^2)-\log_4(y^{3})+\frac {1}{5}\log_4(z)$ 作为一个对数。

可能的答案:

$\log_4 \bigg(\frac {x^8\sqrt[5]{z}}{y^3}\bigg)$

$\log_4 \bigg(\frac {x^8\sqrt[3]{z}}{y^5}\bigg)$

$\log_4 \bigg(\frac {x^5\sqrt[8]{z}}{y^3}\bigg)$

$\log_4 \bigg(\frac {x^8\sqrt[5]{z}}{y^{-3}}\bigg)$

正确答案:

$\log_4 \bigg(\frac {x^8\sqrt[5]{z}}{y^3}\bigg)$

解释：

第一步:回忆所有的对数法则:

$\log_a b+\log_a c=\log_a (bc)$

$\log_a b-\log_a c=log_a \bigg(\frac{b}{c}\bigg)$

$c\log_a b=\log_a (b^c)$

$\large a^{\frac {1}{b}}=\sqrt[b]{a}$

第二步:重写表达式中的第一个项..

$4\log_4 x^2=\log_4 (x^2)^4=log_4 (x^8)$

第三步:重写表达式中的第三项。

$\frac {1}{5}\log_4 (z)=\log_4 (z)^{\frac {1}{5}}=log_4 (\sqrt[5] {z})$

第四步:把积极的词汇加起来……

$\log_4(x^8)+\log_4 (\sqrt[5]{z})=\log_4 (x^8\sqrt[5]{z})$

第五步:从第四步的答案中减去另一项的答案。

$\log_4 (x^8\sqrt[5]{z})-\log_4(y^3)=\log_4 \bigg(\frac {x^8\sqrt[5]{z}}{y^3}\bigg)$

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例子问题2:对数的性质

$Expand: log\left ( \frac{xy}{z} \right )$

可能的答案:

log(x)*log(y)-log(z)

log(x)+log(y)-log(z)

log(x)-log(y)+log(z)

$\frac{log(x)*log(y)}{log(z)}$

正确答案:

log(x)+log(y)-log(z)

解释：

为了扩展这个日志，我们必须记住日志规则。

$Similar\ to\ the\ exponent\ rules\ when\ variables\ are\ multiplied\ within\ a\ log:\\ the\ variables\ are\ added: log(xy)=log(x)+log(y)$

$When\ variables\ are\ divided\ within\ a\ log\ they\ are\ subtracted:\\ log\left ( \frac{x}{y} \right )=log(x)-log(y)$

$For\ this\ problem\ we\ combine\ both\ rules:$

$Expand: log\left ( \frac{xy}{z} \right )=log(x)+log(y)-log(z)$

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例子问题3:对数的性质

$Solve\ for\ x: log_{3}(x)=2$

可能的答案:

$\frac{1}{3}$

正确答案:

解释：

$We\ can\ use\ the\ general\ rule:\ log_{b}(a)=x\\ when\ rewritten\ in\ exponential\ form\ we\ get: b^{x}=a$

$In\ this\ case\ we\ have\ log_{3}(x)=2$

$This\ can\ be\ rewritten\ in\ exponential\ form\ as: 3^2=x$

$We\ know\ that\ 3^2=9;\ so\ x=9$

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问题4:对数的性质

$Rewrite\ as\ one\ log:\ log(a)-(\left log(b)+log(c) \right)$

可能的答案:

log(a-b+c)

log(a-b-c)

$log\left ( \frac{a}{bc} \right )$

$log\left ( \frac{ab}{c} \right )$

正确答案:

$log\left ( \frac{a}{bc} \right )$

解释：

$When\ condensing\ logs\ we\ must\ remember\ the\ log\ properties:$

$log(x)+log(y)=log(xy): When\ adding;\ we\ multiply.$

$log(x)-log(y)=log\left (\frac{x}{y} \right ): When\ subtracting;\ we\ divide.$

$GIVEN: Rewrite\ as\ one\ log:\ log(a)-(\left log(b)+log(c) \right)\\$

$This\ is\ rewritten\ as:\ log \left (\frac{a}{bc} \right )\\ because\ the\ negative\ will\ be\ distributed\ to\ log(b)\ and\ log(c)$

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例5:对数的性质

将下面的表达式重写为一个对数

$5log_35x+log_3\frac{1}{4x^3}-log_3x^2$

可能的答案:

log_33125x

6.06

$log_3\frac{3125x^3}{4}$

$log_3\frac{3125x^3}{9}$

3.076

正确答案:

6.06

解释：

回忆一下对数的一些性质:

1.当加上底的对数时，我们在里面乘以。

2.当减去同底数的对数时，我们在里面除以。

3.当对数乘以一个数时，我们可以把里面的数取这个幂。

所以我们从这个开始:

$5log_35x+log_3\frac{1}{4x^3}-log_3x^2$

我从3开始化简第一个log。

$log_3(5x)^5+log_3\frac{1}{4x^3}-log_3x^2$

$log_33125x^5+log_3\frac{1}{4x^3}-log_3x^2$

接下来，对前两个日志使用规则1。

$log_3\left(3125x^5\cdot\frac{1}{4x^3}\right)-log_3x^2$

$log_3\left(\frac{3125x^2}{4}\right)-log_3x^2$

然后，使用规则2将这两者结合起来。

$log_3\left(\frac{3125x^2}{4x^2}\right)=log_3\left(\frac{3125}{4}\right)\approx 6.06$

所以答案是6.06。

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