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GRE科目考试:数学:对数

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例子问题

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例子问题1:对数

解决: log_4 256=x

可能的答案:

x=-4

x=4

x=6

x=10

正确答案:

x=4

解释：

第一步:把对数方程写成指数方程。要做到这一点，取log函数的底，并将其提高到等号右边的数。这个新的指数等于log底右边的数。

4^x=256

第二步:把右边重新写成4的幂。

256=4^4

第三步:重写方程

4^x=4^4

第四步:底数相同，所以指数相等。

x=4

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例子问题2:对数

$Solve\ for\ x: log_{x}(49)=2$

可能的答案:

49^2

$\pm7$

24.5

正确答案:

$\pm7$

解释：

为了解出x，我们必须先把log写成指数形式。

每个日志都用下面的一般形式写:

$log_{base}(result)=exponent\ is\ rewritten\ as: base^e^x^p^o^n^e^n^t=result$

在这种情况下，我们有:

$log_{x}(49)=2$

这就变成了:

x^2=49

我们可以通过两边同时取平方根来解决这个问题:

$\sqrt{x^2}=\sqrt{49}$

$x=\pm7$

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示例问题3:对数

解出：

log_4 4096=x

可能的答案:

x=2

x=9

x=4

x=6

x=7

正确答案:

x=6

解释：

使用对数规则…

取对数底数，取等号右边的数(也就是指数):

4^x=4096

$\\4^x=16^3 \\4^x=(4^2)^3 \\4^x=4^6 \\x=6$

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示例问题4:对数

评估: $\log_6 46656=x$

可能的答案:

正确答案:

解释：

第一步:将表达式写成指数形式…

考虑到: $\log_a b=x\implies a^x=b$

$\log_6 46656=x\implies 6^x=46656$

第二步:将右边的式子转化为6的幂。

46656=6^6

第三步:重写方程式…

6^x=6^6

因为底数相等，两边取对数就可以消去底数。

$\log_6 6^x=\log_6 6^6$

$\implies x=6$

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示例问题5:对数

$Solve\ for\ x:\ log_{2}(8)=x$

可能的答案:

正确答案:

解释：

$In\ order\ to\ solve\ for\ x\ we\ must\ know\ how\ to\ rewrite\ a\ log\ in\ exponent\ form:$

$We\ can\ use\ the\ general\ rule:\ log_{b}(a)=x\\ when\ rewritten\ in\ exponential\ form\ we\ get: b^{x}=a$

$To\ Solve\ for\ x:\ log_{2}(8)=x;\ we\ rewrite\ as\ 2^{x}=8$

$We\ know\ that\ 2^{3}=8;\ so\ the\ value\ of\ x=3$

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例子问题121:代数

将下面的表达式改写为一个对数

$5log_35x+log_3\frac{1}{4x^3}-log_3x^2$

可能的答案:

3.076

$log_3\frac{3125x^3}{4}$

6.06

log_33125x

$log_3\frac{3125x^3}{9}$

正确答案:

6.06

解释：

回想一下对数的一些性质:

1.当加对数时，比如底数，我们在里面乘。

2.当减底数的对数时，我们把里面除了。

3.当对数乘以一个数时，我们可以取里面的那个次方。

所以我们从这个开始:

$5log_35x+log_3\frac{1}{4x^3}-log_3x^2$

我从3开始化简第一个log。

$log_3(5x)^5+log_3\frac{1}{4x^3}-log_3x^2$

$log_33125x^5+log_3\frac{1}{4x^3}-log_3x^2$

接下来，在前两个日志上使用规则1。

$log_3\left(3125x^5\cdot\frac{1}{4x^3}\right)-log_3x^2$

$log_3\left(\frac{3125x^2}{4}\right)-log_3x^2$

然后，使用规则2将这两者结合起来。

$log_3\left(\frac{3125x^2}{4x^2}\right)=log_3\left(\frac{3125}{4}\right)\approx 6.06$

所以答案是6.06。

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例子问题1:对数

$Rewrite\ as\ one\ log: [log(x)+log(z)]-log(y)$

可能的答案:

$log\left (\frac{x+z}{y} \right )$

$log\left ({xz}-{y} \right )$

$log\left (\frac{xz}{y} \right )$

$log\left (\frac{xy}{z} \right )$

正确答案:

$log\left (\frac{xz}{y} \right )$

解释：

当把对数组合成一个对数时，我们必须记住加法和乘法是相连的，减法和除法是相连的。

log(ab)=log(a)+log(b)

$log\left (\frac{a}{b} \right )=log(a)+log(b)$

在这种情况下，我们有乘法和除法，所以我们假设任何负数，都必须放在分数的底部。

[log(x)+log(z)]-log(y)=log(xz)-log(y)

$log(xz)-log(y)=log\left ( \frac{xz}{y} \right )$

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示例问题3:对数的性质

$Rewrite\ in\ log\ form: 12^(^x^+^2^)=y$

可能的答案:

$log_{12}(y)=x+2$

$log_{x+2}(y)=12$

$log_{y}(12)=x+2$

$log_{12}(x+2)=y$

正确答案:

$log_{12}(y)=x+2$

解释：

当将指数函数改写为对数函数时，我们必须遵循以下模型:

$log_{base}(result)=exponent$

log是用来求指数的。上面对应的指数形式如下:

base^(^e^x^p^o^n^e^n^t^)=result

$12^(^x^+^2^)=y\ rewritten\ in\ log\ form\ becomes:$

$log_{12}(y)=x+2$

$The\ base\ is\ 12,\ the\ exponent\ is\ (x+2)\ and\ the\ result\ is\ y.$

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示例问题4:对数的性质

$Rewrite\ in\ exponential\ form: log_{3}(22)=y$

可能的答案:

y^3=22

3^y=22

22^y=3

3^2^2=y

正确答案:

3^y=22

解释：

为了重写日志，我们必须记住它们遵循的模式如下:

$log_{base}(result)=exponent$

在这个问题中我们有:

$log_{3}(22)=y$

$The\ base\ is\ 3,\ the\ exponent\ is\ y\ and\ the\ result\ is\ 22.$

$We\ now\ rewrite\ this\ as:\ 3^y=22$

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例子问题1:对数

表达 $4\log_4 (x^2)-\log_4(y^{3})+\frac {1}{5}\log_4(z)$ 作为一个对数。

可能的答案:

$\log_4 \bigg(\frac {x^8\sqrt[5]{z}}{y^3}\bigg)$

$\log_4 \bigg(\frac {x^5\sqrt[8]{z}}{y^3}\bigg)$

$\log_4 \bigg(\frac {x^8\sqrt[3]{z}}{y^5}\bigg)$

$\log_4 \bigg(\frac {x^8\sqrt[5]{z}}{y^{-3}}\bigg)$

正确答案:

$\log_4 \bigg(\frac {x^8\sqrt[5]{z}}{y^3}\bigg)$

解释：

第一步:回忆所有对数规则:

$\log_a b+\log_a c=\log_a (bc)$

$\log_a b-\log_a c=log_a \bigg(\frac{b}{c}\bigg)$

$c\log_a b=\log_a (b^c)$

$\large a^{\frac {1}{b}}=\sqrt[b]{a}$

步骤2:重写表达式的第一个项。

$4\log_4 x^2=\log_4 (x^2)^4=log_4 (x^8)$

步骤3:重写表达式中的第三项。

$\frac {1}{5}\log_4 (z)=\log_4 (z)^{\frac {1}{5}}=log_4 (\sqrt[5] {z})$

第四步:把积极的项加起来……

$\log_4(x^8)+\log_4 (\sqrt[5]{z})=\log_4 (x^8\sqrt[5]{z})$

第五步:从第四步的答案中减去另一项的答案。

$\log_4 (x^8\sqrt[5]{z})-\log_4(y^3)=\log_4 \bigg(\frac {x^8\sqrt[5]{z}}{y^3}\bigg)$

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