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GRE科目考试:数学:距离和中点公式

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例子问题

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例子问题1:求点到直线的距离

求两点之间的最小距离 (-2,-4) 下面这行:

$f(x)=-\frac{1}{3}x+2$

可能的答案:

$2\sqrt{10}$

$4\sqrt{5}$

$\frac{9}{2}$

正确答案:

$2\sqrt{10}$

解释：

从该点到直线的最小距离可以通过画一个垂直于直线的线段直接到该点来求。第一步是求出该点与题中所给直线之间的新直线的方程。因为我们知道这条新直线垂直于我们要求距离的直线，我们知道它的斜率是它所垂直的直线的负倒数。如果我们要求的直线距离是

$f(x)=-\frac{1}{3}x+2$

那么它的斜率是-1/3，所以与它垂直的直线的斜率是3。现在我们知道了这条线的斜率，这条线将给出该点到给定直线的最短距离，我们可以将该点的坐标代入直线公式中，以得到新直线的完整方程:

f(x)=mx+b

f(x)=3x+b

$-4=3(-2)+b\rightarrow b=2$

f(x)=3x+2

现在我们知道了垂线的方程，下一步是求出它与题目中给出的直线的交点:

$3x+2=-\frac{1}{3}x+2$

$\frac{10}{3}x=0\rightarrow x=0$

因此，如果直线相交于x=0，我们将这个值代入任意一个方程中，以找到直线交点的y坐标，这是直线上最接近问题中给定点的点，因此告诉我们从该点到直线的最小距离的位置:

f(0)=3(0)+2=2

现在我们知道，我们要求以下两点之间的距离:

(-2,-4) 而且 (0,2)

使用以下两点之间的距离公式，我们可以看到这只是勾股定理的一个应用，我们可以把两个点的值代入，并计算出问题中给出的点与直线之间的最短距离:

$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

$d=\sqrt{(0-(-2))^2+(2-(-4))^2}=\sqrt{(2)^2+(6)^2}=\sqrt{40}$

我们可以通过因式分解根号来化简

$\sqrt{40}=\sqrt{4\cdot 10}=2\sqrt{10}$

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例子问题2:求点到直线的距离

两条线之间最短的距离是多少 y=3x-4 原点呢?

可能的答案:

$\frac{2\sqrt{10}}{5}$

$\frac{7\sqrt{2}}{3}$

$\frac{4}{3}$

$\frac{3\sqrt{6}}{5}$

正确答案:

$\frac{2\sqrt{10}}{5}$

解释：

从一点到直线的最短距离总是沿着与直线垂直的路径。为了与直线垂直，斜率为 $-\frac{1}{3}$ ．

为了求直线方程，我们可以简单地用点斜式，用原点，求出

$y-0=\left(-\frac{1}{3}\right)(x-0)$ 化简为 $y=-\frac{x}{3}$ ．

现在我们想知道这条直线与已知直线的交点。我们只是让它们相等，得到 $-\frac{x}{3}=3x-4$ ．

如果两边都乘以，我们得到 -x=9x-12 ．

然后我们可以加上 x+12 向每一方，给予我们 10x=12 ．

最后除以，让我们 $x=\frac{6}{5}$ ．

这是它们交点的x坐标。为了求y坐标，代入 $\frac{6}{5}$ 成 $y=-\frac{x}{3}$ ，让我们 $y=-\frac{2}{5}$ ．

因此，我们的交点必须是 $\left(\frac{6}{5},-\frac{2}{5}\right)$ ．

然后我们用距离公式 $d=\sqrt{(x_{1}-x_{2})^2+(y_{1}-y_{2})^2}$ 使用 $\left(\frac{6}{5},-\frac{2}{5}\right)$ 还有原点。

这给了我们 $d=\sqrt{\left(\frac{36}{25}\right)+\left(\frac{4}{25}\right)}=\sqrt{\frac{40}{25}}=\frac{2\sqrt{10}}{5}$ ．

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例子问题1:求点到直线的距离

求点到点的距离 $\left ( 1,-\frac{1}{2}\right )$ 到线上 y=5 ．

可能的答案:

$\frac{9}{2}$

$\frac{11}{2}$

$-\frac{9}{2}$

$-\frac{11}{2}$

正确答案:

$\frac{11}{2}$

解释：

画一条直线与该点相接，并与该线成垂角相交。

到点的垂直距离 $\left ( 1,-\frac{1}{2}\right )$ 到线上 y=5 就是两个y值之差。

距离不可能是负的。

$5-\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{10}{2}+\frac{1}{2}=\frac{11}{2}$

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问题4:求点到直线的距离

求两点之间的距离 $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ 到线上 $x=-\frac{1}{2}$ ．

可能的答案:

$-\frac{1}{4}$

$\frac{1}{2}$

正确答案:

解释：

距离不可能是负数。这个函数 $x=-\frac{1}{2}$ 是一条垂直线。将直线的值与给定点的x值相减，就得到了距离。

$D=\left | (-\frac{1}{2})-\frac{1}{2} \right | = \left | -1\right |=1$

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例5:求点到直线的距离

求两点之间的距离 (-1,6) 行 x=1 ．

可能的答案:

$\frac{1}{2}$

正确答案:

解释：

这条线 x=1 垂直覆盖了坐标平面上的第一和第四象限。

的x值 (-1,6) 等于- 1。

通过减去直线的值和该点的x值，求出该点到直线的垂直距离。

距离不能是负的。

$\left | 1-(-1)\right |=\left |2 \right |=2$

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例子问题6:求点到直线的距离

这条线相隔多远 $y = \frac{ 1}{2 } x - 3$ 重点是 (2, 7 ) ?

可能的答案:

$\frac{ 3}{\sqrt5}$

$\frac{ 18 }{ \sqrt5}$

$\frac{18}{\sqrt3}$

$\frac{17}{\sqrt3}$

$\frac{22}{\sqrt5}$

正确答案:

$\frac{ 18 }{ \sqrt5}$

解释：

用公式求距离 $distance = \frac{|ax_{0}+by_{0}+c |}{\sqrt{a^2 + b^2 }}$ 重点在哪里 (x_0, y_0) 直线是 ax + by + c = 0

首先，我们重写一下方程 $y = \frac{1}{2} x - 3$ 在这个表格中，要区分a, b和c:

$y = \frac{1}{2} x - 3$ 减去x的一半，两边加3

$y - \frac{1}{2}x + 3 = 0$ 两边同时乘以2

2y - x + 6 = 0 现在我们可以看到 a = -1, b = 2, c = 6 ．代入加号 (x_0, y_0) = (2, 7 ) 代入公式，得到:

$distance = \frac{|-1(2)+2(7)+6 |}{\sqrt{(-1)^2 +( 2)^2 }} = \frac{|-2 + 14+6|}{\sqrt{1+4} } = \frac{18}{\sqrt5}$

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示例问题7:求点到直线的距离

这条线相隔多远 $y = -\frac{2}{3}x + 8$ 重点是 (1,3) ?

可能的答案:

$\frac{10.\overline3}{\sqrt{1.\overline4}}$

$\frac{15}{\sqrt{13}}$

$\frac{35}{\sqrt5}$

$\frac{13}{\sqrt{3}}$

$\frac{15}{\sqrt5}$

正确答案:

$\frac{13}{\sqrt{3}}$

解释：

用公式求距离 $distance = \frac{|ax_{0}+by_{0}+c |}{\sqrt{a^2 + b^2 }}$ 重点在哪里 (x_0, y_0) 直线是 ax + by + c = 0

首先，我们重写一下方程 $y = -\frac{2}{3} x +8$ 在这个表格中，要区分a, b和c:

$y = -\frac{2}{3} x+8$ 添加 $\frac{2}{3}x$ 两边同时减去8

$y + \frac{2}{3}x -8 = 0$ 两边同时乘以3

3y +2x - 24 = 0 现在我们可以看到 a = 2, b = 3, c = -24 ．代入加号 (x_0, y_0) = (1, 3 ) 代入公式，得到:

$distance = \frac{|2(1)+3(3)-24 |}{\sqrt{(3)^2 +( 2)^2 }} = \frac{|2 + 9-24|}{\sqrt{9+4} } = \frac{13}{\sqrt{13}}$

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例8:求点到直线的距离

找到两者之间的距离 $y = -\frac{4}{5}x - 2$ 而且 (-3,4) ．

可能的答案:

$\frac{18}{5}$

$\frac{18}{\sqrt{41}}$

$\frac{42}{5}$

$\frac{42}{\sqrt{41}}$

$\frac{11}{\sqrt{42}}$

正确答案:

$\frac{18}{\sqrt{41}}$

解释：

用公式求距离 $distance = \frac{|ax_{0}+by_{0}+c |}{\sqrt{a^2 + b^2 }}$ 重点在哪里 (x_0, y_0) 直线是 ax + by + c = 0

首先，我们重写一下方程 $y = -\frac{4}{5} x -2$ 以这种形式进行识别，,：

$y = -\frac{4}{5} x-2$ 添加 $\frac{4}{5}x$ 而且对双方来说

$y + \frac{4}{5}x +2 = 0$ 两边同时乘以

5 y + 4 x + 10 = 0 现在我们可以看到 a = 4, b = 5, c = 10 ．代入加号 (x_0, y_0) = (-3,4 ) 代入公式，得到:

$distance = \frac{|4(-3)+5(4)+10 |}{\sqrt{(4)^2 +(5)^2 }} = \frac{|-12+20+10|}{\sqrt{16+25} } = \frac{18}{\sqrt{41}}$

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问题9:求点到直线的距离

找到两者之间的距离 y = 4x+1 而且 (2, -3)

可能的答案:

$\frac{10}{\sqrt{17}}$

$\frac{13}{\sqrt{13}}$

$\frac{12}{\sqrt{17}}$

$\frac{12}{\sqrt5}$

$\frac{13}{\sqrt{17}}$

正确答案:

$\frac{12}{\sqrt{17}}$

解释：

用公式求距离 $distance = \frac{|ax_{0}+by_{0}+c |}{\sqrt{a^2 + b^2 }}$ 重点在哪里 (x_0, y_0) 直线是 ax + by + c = 0

首先，我们重写一下方程 y =4x+1 以这种形式进行识别，,：

y =4x+1 减去而且从双方

y - 4x - 1 = 0

现在我们可以看到 a = -4, b = 1, c = -1 ．代入加号 (x_0, y_0) = (2,-3) 代入公式，得到:

$distance = \frac{|-4(2)+1(-3)-1 |}{\sqrt{(1)^2 +(-4)^2 }} = \frac{|-8 -3-1|}{\sqrt{1+16} } = \frac{12}{\sqrt{17}}$

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例子问题1:求点到直线的距离

找到两者之间的距离 $y = \frac{7}{2} x - 14$ 而且 (-6,2)

可能的答案:

$\frac{2}{\sqrt{53}}$

$\frac{2}{\sqrt{40}}$

$\frac{45}{\sqrt{40}}$

$\frac{45}{\sqrt{53}}$

$\frac{7}{\sqrt{53}}$

正确答案:

$\frac{45}{\sqrt{53}}$

解释：

用公式求距离 $distance = \frac{|ax_{0}+by_{0}+c |}{\sqrt{a^2 + b^2 }}$ 重点在哪里 (x_0, y_0) 直线是 ax + by + c = 0

首先，我们重写一下方程 $y = \frac{7}{2} x -14$ 以这种形式进行识别，,：

$y = \frac{7}{2} x-14$ 减去 $\frac{7}{2}x$ 从和添加对双方来说

$y -\frac{7}{2}x +14 = 0$ 两边同时乘以

2y -7x +28 = 0 现在我们可以看到 a = -7, b = 2, c =28 ．代入加号 (x_0, y_0) = (-6,2 ) 代入公式，得到:

$distance = \frac{|-7(-6)+2(2)+28 |}{\sqrt{(-7)^2 +( 2)^2 }} = \frac{|13 + 4+28|}{\sqrt{49+4} } = \frac{45}{\sqrt{53}}$

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