GMAT数学:三角形

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例子问题

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例子问题1:直角三角形

哪组边长不是直角三角形的边长?

可能的答案:

$\dpi{100} \小45,55,75$

$\dpi{100} \小84,35,91$

$\dpi{100} \small 48,64,80$

$\dpi{100} \小3,4,5$

$\dpi{100} \小28,45,53$

正确答案:

$\dpi{100} \小45,55,75$

解释:

一个三角形要成为直角三角形，它的边必须符合勾股定理。让我们试试我们的选择。

3,4,5:你应该知道这是一个直角三角形，不需要做任何计算，因为它是一个你应该记住的特殊三角形。但如果你没有， $3^{2} + 4^{2} = 25 = 5^{2}$ ．

28、45、53: $28^{2} + 45^{2} = 784 + 2025 = 2809 = 53^{2}$

45、55、75: $45^{2} + 55^{2} = 2025 + 3025 = 5050 \neq 75^{2}$ ．这些边不符合勾股定理所以这不是直角三角形。这就是我们的答案。我们再看看剩下的两组边。

48、64、80: $48^{2} + 64^{2} = 2304 + 4096 = 6400 = 80^{2}$ ．这些都是相当大的数字，计算可能需要一段时间。不做这些计算，我们也可以看看48 64 80是否像我们知道的任何特殊三角形。我们把这三个数除以16。48/16 = 3,64 /16 = 4,80 /16 = 5。这是一个3 4 5三角形，我们知道这是一个直角三角形。

84、35、91: $84^{2} + 35^{2} = 7056 + 1225 = 8281 = 91^{2}$ ．同样，这些都是需要平方的大数字。我们把这三个数除以它们的最大公因数7。84/7 = 12,35 /7 = 5,91 /7 = 13。这是一个5 12 13的三角形，这是另一个特殊三角形我们知道它是直角三角形。

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例子问题2:计算直角三角形是否相似

下面哪个直角三角形与高为的三角形相似还有一个基?

可能的答案:

h=12,b=20

h=8,b=14

h=10,b=15

h=5,b=10

h=7,b=12

正确答案:

h=10,b=15

解释:

为了使两个直角三角形相似，它们的尺寸之比必须相等。首先，我们可以检查给定三角形的高与底的比率，然后我们可以检查具有相同比率的三角形的每个答案选择:

$Given:\frac{h}{b}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$

所以现在我们可以检查每个答案选项的高与底的比例，没有特定的顺序，与给定三角形具有相同比例的三角形将是一个相似的三角形:

$Option1:\frac{h}{b}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$

$Option2:\frac{h}{b}=\frac{7}{12}$

$Option3:\frac{h}{b}=\frac{8}{14}=\frac{4}{7}$

$Option4:\frac{h}{b}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$

$Option5:\frac{h}{b}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$

高为的三角形还有一个基和给定三角形的比例相同，所以这个是相似的。

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问题481:解决问题

下面哪个直角三角形与有高的三角形相似的还有一个碱的?

可能的答案:

h=2, b=6

h=3, b=5

h=3, b=1

h=6, b=2

h=7, b=14

正确答案:

h=2, b=6

解释:

为了使两个直角三角形相似，它们的高底比必须相等。给定一个有高的直角三角形 h=4 还有一个碱 b=12 ，比值 $\frac{h}{b}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$ ．唯一的答案是 $\frac{1}{3}$ 是 h=2, b=6 ．

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问题4:计算直角三角形是否相似

下面哪个直角三角形与有高的三角形相似的还有一个碱的?

可能的答案:

h=7, b=35

h=2, b=12

h=10, b=4

h=6, b=18

h=3, b=12

正确答案:

h=3, b=12

解释:

为了使两个直角三角形相似，它们的高底比必须相等。给定一个有高的直角三角形 h=5 还有一个碱 b=20 ，比值 $\frac{h}{b}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}$ ．唯一的答案是 $\frac{1}{4}$ 是 h=3, b=12 ．

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例5:计算直角三角形是否相似

下面哪个直角三角形与有高的三角形相似的还有一个碱的?

可能的答案:

h=9, b=81 h=3, b=45

以上都不是

h=6, b=48

h=1, b=4

h=5, b=30

正确答案:

h=5, b=30

解释:

为了使两个直角三角形相似，它们的高底比必须相等。给定一个有高的直角三角形的还有一个碱的，比值 $\frac{h}{b}=\frac{7}{42}=\frac{1}{6}$ ．唯一的答案是 $\frac{1}{6}$ 是 h=5, b=30 ．

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例子问题6:计算直角三角形是否相似

已知两个直角三角形 $\bigtriangleup ABC$ 而且 $\bigtriangleup DEF$ ，有直角 $\angle B, \angle E$ ，什么是度量 $\angle A$ ?

声明1: $\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup DEF$

声明2: $\bigtriangleup ABC \sim \bigtriangleup FED$

可能的答案:

两个表述合在一起提供了充分的信息来回答问题，但是两个表述单独都不能提供充分的信息来回答问题。

表述二单独提供了充分的信息来回答问题，但是表述一单独不能提供充分的信息来回答问题。

表述一单独提供了充分的信息来回答问题，但是表述二单独不能提供充分的信息来回答问题。

两种说法加在一起并不能提供足够的信息来回答问题。

任何一种表述单独提供了足够的信息来回答这个问题。

正确答案:

两个表述合在一起提供了充分的信息来回答问题，但是两个表述单独都不能提供充分的信息来回答问题。

解释:

相似三角形的同位角相等，因此，表述一单独证明了这个 $\angle A \cong \angle D$ 而且 $\angle C \cong \angle F$ ；类似地，表述二单独证明了 $\angle A \cong \angle F$ 而且 $\angle C \cong \angle D$ ．然而，这两种说法都不能单独确定四个锐角中的任何一个的实际测量值。

假设两种说法都成立。从传递性来看，它是成立的 $\angle A \cong \angle D \cong \angle C$ ．的两个锐角 $\bigtriangleup ABC$ ，其中之一是 $\angle A$ ，是一致的。自 $\angle B$ 这是对的吗 $\bigtriangleup ABC$ 和等腰直角三角形，以及它的锐角，包括 $\angle A$ 有措施 $45 ^{\circ }$ ．

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例子问题1:直角三角形

斜边是多少的直角三角形的边长是多少还有一份?

可能的答案:

正确答案:

解释:

我们需要用到勾股定理

a^2+b^2=c^2

a^2=c^2-b^2

a^2=10^2-8^2

a^2=100-64

a^2=36

a=6

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例子问题2:三角形

有一个由四个相同的直角三角形组成的大正方形和一个小正方形。如果小正方形的面积是1，大正方形的面积是5，直角三角形最短的边的长度是多少?

可能的答案:

$\dpi{100} \小4$

$\dpi{100} \small 1$

$\dpi{100} \small 2$

$\dpi{100} \small 3$

$\dpi{100} \小$

正确答案:

$\dpi{100} \small 1$

解释:

大正方形的面积是5，小正方形的面积是1。因此，四个直角三角形的面积为 $\dpi{100} \small 5-1=4$ ．

因为这四个三角形完全相等，所以每个直角三角形的面积都是1。我们知道长边是短边的2倍，所以我们可以把短边表示为 $\dpi{100} \小x$ 长边是 $\dpi{100} \小2x$ ．然后我们可以建立一个方程:

$\dpi{100} \small \frac{1}{2}\乘以x\乘以2x=1$ ．

因此，直角三角形最短边的长度x是1。

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例子问题1:计算直角三角形的边长

三角形的边长分别为9、12和16。下面哪个陈述是正确的?

可能的答案:

这个三角形是钝角和斜角三角形。

三角形不可能存在。

三角形是锐角三角形，等腰三角形。

三角形是锐角三角形和斜角三角形。

这个三角形是钝角等腰三角形。

正确答案:

这个三角形是钝角和斜角三角形。

解释:

这个三角形可以通过三角形不等式存在，因为它最短的两条边的长度之和超过了最长的边的长度之和:

9 + 12 = 21 > 16

最短的两条边的平方和小于最长边的平方和:

$9^{2}+12^{2} = 81+144= 225 <256=16^{2}$

这使得三角形是钝角。

它的边长都不一样，所以三角形也是斜角三角形。

钝角和斜角是正确的选择。

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问题4:三角形

使用下面的右三角形，计算的值

(不是按比例画的。)

可能的答案:

$3\textup{ cm}$

$1\textup{ cm}$

$6.4\textup{ cm}$

$9\textup{ cm}$

正确答案:

$3\textup{ cm}$

解释:

我们可以用勾股定理来确定边长:

c^2=a^2+b^2

在哪里 c=5, a=4

则方程为:

5^2=x^2+4^2

x^2=25-16=9

x=3

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