圆方程的标准形式是

，

半径是多少中心是．

给出的方程是同样的形式替换，替换,替换，为了求出半径，我们需要．

表述一单独告诉我们，中心是但它没有告诉我们半径。表述二单独告诉我们圆通过．

然而，这两者结合起来，就能提供足够的信息来给出半径。半径是圆心到圆上一点的距离，所以我们可以用距离公式来求两者之间的距离而且．这是半径。

我们已知一个圆的面积和周长，并要求求出半径。

有以下公式:

我们可以用任意一个方程往回算，得到半径;每个表述单独都能解题。

表述一给出了一个圆的周长。求圆周长的公式是．半径可以用这个公式求解。

表述2)给出圆的标准形式，其中是圆心:

半径也在方程中给出了。

因此，任何一种表述单独都能解出圆的半径。

为了求出圆环的半径，我们需要它的周长、直径或面积。

I)看起来很有用，但它实际上只是给出了，所以它是不充分的。

II)给出了圆的面积，我们可以用它来向后求半径。

所以II能充分解题，但I不行。

圆弧内的正方形对角线的长度等于圆的直径，一半是半径。如果一个直角三角形内嵌在一个圆内，直角三角形的斜边也是一个直径，长度的一半是半径。由于每一种说法都单独提到了一个圆中的内切正方形和另一个圆中的内切直角三角形，我们只需将前者的对角线长度与后者的斜边长度进行比较。

单独假设表述一。圆2内的正方形周长为48;它的边长是这个的四分之一，也就是12，对角线的长度是乘以这个，或者．圆1内的直角三角形，两条边都是10，也就是45-45-90度的三角形，等腰，根据45-45-90度定理，乘以一条腿的长度，或者．圆2内的正方形对角线比圆1内三角形的斜边长，因此圆2的半径更大。

单独假设表述二。面积为100的平方，即边长为100的平方根，即10，可以刻在圆1内;它的对角线有长度这个,或者．

圆2内的30-60-90三角形有一条边长．然而，表述二并没有说明这条腿是短腿还是长腿。如果是较短的那条边，那么根据30-60-90定理，斜边是两倍,或；如果是长边，那么根据30-60-90定理，斜边是次,或

．

在第一种情况下，因为，圆2的半径更大。第二种是since(这可以从注意到而且)，圆1的半径较大。

单独假设表述一。具有给定端点的段的长度可以用距离公式计算。然而，尚不清楚这些点是相对的顶点，在这种情况下，线段是正方形的对角线，还是这些点是连续的顶点，在这种情况下，线段是正方形的一条边，构成正方形的对角线乘以这个长度。内切正方形对角线的长度不能确定;因为圆的直径等于对角线的长度，所以直径不能确定，因为半径是它的一半，所以半径不能确定。

单独假设表述二。具有端点的段的长度可以用距离公式计算。但是，不清楚这段是否是三角形的斜边;圆的直径等于内切直角三角形的斜边的长度，所以知道这个是必要的。

假设两种说法都成立。这两个表述加在一起给出了圆的四个点;因为三个点唯一地定义了一个圆，所以这个圆可以被定位;然后，就可以求出半径了。

限定矩形的圆的直径等于矩形对角线的长度;半径等于这个的一半。

然而，这两种说法加在一起并不能得出这个结论。矩形的对边相等，所以这两种说法实际上是等价的;每个都给出了相同的矩形尺寸。这不足以确定对角线的长度。

首先，确定三角形各边的其他中点，并构造从每个顶点到相对中点的分段。

自是等边三角形,，,都是插入圆周中心的高度，，所以．是被限定圆的半径。

单独假设表述一。等边三角形的一条边的长度可以用这个公式计算

，或等价地，

一次是经过计算的，那么，自从也是的垂直平分线的平分线,使30-60-90三角形，能算出是一半吗；可以乘以屈服，由于等边三角形的三个高程彼此分割成长度之比为2:1的段，可以乘以得到半径．

表述二告诉我们明确的，我们可以取这个的2 / 3来得到半径

．

单独假设表述一。一个圆1的弧有圆1的周长。因为这也是圆2的周长，如果我们让是周长，

，

而且

．

这使得圆2的周长更大，因此半径也更大。

单独假设表述二。一个圆2的扇形有面积圆2的。因为它的面积也等于，则，如果分别是圆1和圆2的面积，则

，

而且

这使得圆2的面积更大，因此半径也更大。

如果一个直角三角形可以刻在一个给定的圆内，那么它的斜边长度等于圆的直径，而圆的半径可以计算为圆的直径的一半。表述一给出了充分的信息，因为斜边的长度是它的端点之间的距离而且，即；圆的直径是20，半径是它的一半，也就是10。从表述二，我们只能求出一个内切直角三角形的一条边的长度，所以斜边的长度还没有解出来。