让是正方形的边长。它的面积是．

由表述一可知，圆的半径为．

由表述二可知，由于正方形的周长为时，圆的周长为，半径为-与表述一中给出的事实相同。

无论哪种方法，都可以得出圆的面积是

，

所以我们要做的就是比较到1，以确定正方形或圆形的面积更大。

从表述二，我们可以计算出三角形的面积，但是我们没有得到关于圆的面积的线索，无论是实际的还是相对的。

从表述一，我们知道，如果我们称圆的半径为，我们知道三角形的边长是．

圆的面积是．

三角形的面积是．

我们要做的就是比较来来确定圆形和三角形哪个面积更大。

圆的面积可以用以下公式计算:

周长计算用:

半径是计算圆面积所需的唯一信息，可以从周长得到，因此，任何一种表述都是充分的。

大圆的半径等于小圆的直径，然后是小圆半径的两倍。如果一个半径已知，那么另一个半径就可以计算出来，两个圆的面积也可以计算出来;它们的面积之差就是灰色区域的面积。表述一告诉我们大圆的直径，它的半径可以通过除以2来确定;表述二告诉我们小圆的半径。从任意一个圆，都可以计算出另一个圆的半径。

请看下面的图表，它显示了六边形，从它的中心到两个顶点和一条边的中点的分段，以及两个圆。

单独从表述一，半径可以用面积公式来计算。仅由表述二，周长可以除以6得到；由于两个连续的半径和六边形的一条边可以被证明是等边三角形，．因此，单独从任何一种表述来看，可以计算。

可以证明一个30-60-90三角形，那么30-60-90定理可以用来计算吗，内切圆的半径。由此，可以计算出内切圆的面积。

圆方程的标准形式是

，

半径是多少中心是．

给出的方程是同样的形式替换，替换,替换，为了求出半径，我们需要．

表述一单独告诉我们，中心是但它没有告诉我们半径。表述二单独告诉我们圆通过．

然而，这两者结合起来，就能提供足够的信息来给出半径。半径是圆心到圆上一点的距离，所以我们可以用距离公式来求两者之间的距离而且．这是半径。

我们已知一个圆的面积和周长，并要求求出半径。

有以下公式:

我们可以用任意一个方程往回算，得到半径;每个表述单独都能解题。

表述一给出了一个圆的周长。求圆周长的公式是．半径可以用这个公式求解。

表述2)给出圆的标准形式，其中是圆心:

半径也在方程中给出了。

因此，任何一种表述单独都能解出圆的半径。

为了求出圆环的半径，我们需要它的周长、直径或面积。

I)看起来很有用，但它实际上只是给出了，所以它是不充分的。

II)给出了圆的面积，我们可以用它来向后求半径。

所以II能充分解题，但I不行。

圆弧内的正方形对角线的长度等于圆的直径，一半是半径。如果一个直角三角形内嵌在一个圆内，直角三角形的斜边也是一个直径，长度的一半是半径。由于每一种说法都单独提到了一个圆中的内切正方形和另一个圆中的内切直角三角形，我们只需将前者的对角线长度与后者的斜边长度进行比较。

单独假设表述一。圆2内的正方形周长为48;它的边长是这个的四分之一，也就是12，对角线的长度是乘以这个，或者．圆1内的直角三角形，两条边都是10，也就是45-45-90度的三角形，等腰，根据45-45-90度定理，乘以一条腿的长度，或者．圆2内的正方形对角线比圆1内三角形的斜边长，因此圆2的半径更大。

单独假设表述二。面积为100的平方，即边长为100的平方根，即10，可以刻在圆1内;它的对角线有长度这个,或者．

圆2内的30-60-90三角形有一条边长．然而，表述二并没有说明这条腿是短腿还是长腿。如果是较短的那条边，那么根据30-60-90定理，斜边是两倍,或；如果是长边，那么根据30-60-90定理，斜边是次,或

．

在第一种情况下，因为，圆2的半径更大。第二种是since(这可以从注意到而且)，圆1的半径较大。