GMAT数学:几何

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例子问题

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例子问题1:几何

数据充分性问题

直线A与下面的直线垂直吗?

$y=-\frac{1}{2}x+3$

表述一，直线A的斜率是3。

表述二，直线A经过点(2,3)

可能的答案:

表述二单独是充分的，但是表述一单独不能充分解题。

表述一单独是充分的，但是表述二单独不能充分解题。

表述1和表述2一起是不充分的，需要其他数据来回答这个问题。

两个表述加在一起都能充分解题，但两个表述单独都不充分。

每个表述单独都是充分的。

正确答案:

表述一单独是充分的，但是表述二单独不能充分解题。

解释：

要确定两条线是否垂直，只需要考虑斜率。垂直线的斜率是彼此的负倒数。只知道直线上的一个点是不够的，因为有无限条直线可以通过一个单独的点。

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例子问题2:几何

无标题的

参照上图。对或错: $m \perp n$

声明1: $\triangle AXB$ 是等边三角形。

表述2:行平分 $\angle AXB$ ．

可能的答案:

两个表述合在一起能充分解题，但两个表述单独都不能充分解题。

任何一个表述单独都能充分解题。

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

两个表述加在一起不足以回答这个问题。

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

正确答案:

两个表述合在一起能充分解题，但两个表述单独都不能充分解题。

解释：

表述一单独不能证明这个角与，因为它不是三角形的一部分。表述二单独只能证明这个 AY = YB ．

假设两种说法都成立。然后 $\overleftrightarrow{XY}$ 高度是等边三角形吗-与底垂直 $\overline {AB}$ - - -．

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例子问题3:几何

无标题的声明1:

参照上图。这两条线垂直吗?

声明1: x = 9

声明2: x= y+1

可能的答案:

任何一个表述单独都能充分解题。

两个表述加在一起不足以回答这个问题。

两个表述合在一起能充分解题，但两个表述单独都不能充分解题。

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

正确答案:

任何一个表述单独都能充分解题。

解释：

单独假设表述一。其中一个角的度数是

$x^{2}+ 9 = 9^{2}+ 9= 81 + 9 = 90$ 度。

单独假设表述二。

用 x-1 为，一个角度测量值

11y + 2 = 11 (x-1) +2= 11x-11+2= 11x-9

标记的角是一对线性角，因此它们的角度值之和为180度;因此，我们可以建立一个方程:

$\left ( 11x-9 \right )+ \left ( x^{2}+9 \right ) = 180$

$x^{2}+11x = 180$

$x^{2}+11x - 180 = 0$

(x+20)(x-9) = 0

x= -20 或 x= 9

x= -20 产生非法的角度测量-例如，

$x^{2}+ 9 = (-20)^{2}+ 9= 409$

x= 9 收益率角测量 $90 ^{\circ }$ 对于两个角;角是对的，直线是垂直的。

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问题4:几何

参照上图。

对或错: $m \perp t$

声明1: $m \angle 2 = 89^{\circ }$

声明2: $\angle 3 \cong \angle 6$

可能的答案:

任何一个表述单独都能充分解题。

两个表述合在一起能充分解题，但两个表述单独都不能充分解题。

两个表述加在一起不足以回答这个问题。

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

正确答案:

两个表述合在一起能充分解题，但两个表述单独都不能充分解题。

解释：

表述一单独定义了这个 $l \perp \! \! \! \! \! / \; t$ ，但不建立任何关系而且．

单独通过表述二，由于内交角相等， l || m 的关系，但无法得出结论，因为没有给出角度的实际测量值。

假设两种说法都成立。根据表述二， l || m ． $\angle 2$ 而且 $\angle 6$ 同位角是由平行线的截线形成的吗 $m \angle 6 = m \angle 2 = 89^{\circ }$ ． $\angle 6$ 不是直角，那么 $m\perp \! \! \! \! \! / \; t$ ．

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例5:几何

无标题的

参照上图。对或错: $m \perp n$

声明1: $\bigtriangleup XAY \cong \bigtriangleup XBY$

表述2:行平分 $\angle AXB$ ．

可能的答案:

两个表述合在一起能充分解题，但两个表述单独都不能充分解题。

任何一个表述单独都能充分解题。

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

两个表述加在一起不足以回答这个问题。

正确答案:

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

解释：

单独假设表述一。那么，作为一致性的结果， $\angle XYA$ 而且 $\angle XYB$ 都是相等的。它们形成了一对线性角，所以它们也是互补的。两个相等又互补的角一定是直角，所以 $m \perp n$ ．

单独假设表述二。然后 $\angle AXY \cong \angle BXY$ ，但是没有任何关于角的信息 $\overleftrightarrow{AX}, \overleftrightarrow{BX},$ 或与，还不能确定是否 $m \perp n$ 与否。

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例子问题1:几何

两条直线的方程为:

4x+5y = 20

Ax+8y=B

这些线垂直吗?

声明1: A=4

声明2: B = -20

可能的答案:

两个表述加在一起不足以回答这个问题。

两个表述合在一起能充分解题，但两个表述单独都不能充分解题。

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

任何一个表述单独都能充分解题。

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

正确答案:

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

解释：

这两个方程的直线的斜率必须是彼此的反比，互为倒数。

将方程写成斜截式:

4x+5y = 20

5y = -4x+20

$y = -\frac{4}{5} x+4$

$m_{1}= -\frac{4}{5}$

Ax+8y=B

8y=-Ax+B

$y=-\frac{A}{8}x+\frac{B}{8}$

$m_{2}= -\frac{A}{8}$

可见，知道的价值对回答这个问题是必要且充分的。的价值是无关紧要的。

答案是，表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

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例子问题1:几何

注:图非按比例绘制。

评估．

声明1: AD = 24

声明2: BE = 24

可能的答案:

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

任何一个表述单独都能充分解题。

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

两个表述加在一起不足以回答这个问题。

两个表述合在一起能充分解题，但两个表述单独都不能充分解题。

正确答案:

两个表述加在一起不足以回答这个问题。

解释：

即使有两个表述，不能确定，因为长度不见了。

例如，我们可以有 AB = DE = 8 而且 BD=16 ,使 AE = 32 ；或者，我们可以 AB = DE = 10 而且 BD=14 ,使 AE = 34 ．这两种情况都不违反给定的条件。

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例8:几何

，,是不同的点。

对或错: $\overrightarrow{AB}$ 而且 $\overrightarrow{AC}$ 是相反的射线。

声明1:是在 $\overleftrightarrow{AC}$

声明2:是在 $\overleftrightarrow{AB}$

可能的答案:

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

任何一个表述单独都能充分解题。

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

两个表述加在一起不足以回答这个问题。

两个表述合在一起能充分解题，但两个表述单独都不能充分解题。

正确答案:

两个表述加在一起不足以回答这个问题。

解释：

这两个表述都是等价的，因为它们都等价于表述那个，,共线。因此，确定两点共线这一事实是否足以回答问题。

在上述两幅图中，，,共线，所以两个表述的条件都满足。但是在上面的图表中， $\overrightarrow{AB}$ 而且 $\overrightarrow{AC}$ 是同一条射线，自从是在 $\overrightarrow{AB}$ ；在下面的图中，自从而且在相对的两边， $\overrightarrow{AB}$ 而且 $\overrightarrow{AC}$ 是相反的射线。

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例子问题2:几何

，,是不同的点。

对或错: $\overrightarrow{AB}$ 而且 $\overrightarrow{AC}$ 是相反的射线。

声明1: $AC = 2 \cdot AB$ ．

声明2:中点是 $\overline{AC}$ ．

可能的答案:

两个表述加在一起不足以回答这个问题。

两个表述合在一起能充分解题，但两个表述单独都不能充分解题。

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

任何一个表述单独都能充分解题。

正确答案:

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

解释：

我们通过下面的图来证明，表述一单独不足以确定两条射线是否相同。在第一幅图中，中点是 $\overline{AC}$ ．

在这两幅图中， $AC = 2 \cdot AB$ ．但只有在第二幅图中，而且都在线的另一边，所以只有在第二幅图中， $\overrightarrow{AB}$ 而且 $\overrightarrow{AC}$ 是相反的射线。

单独假设表述二。如果中点是 $\overline{AC}$ ，那么，如上图所示，是在 $\overrightarrow{AC}$ ．因此, $\overrightarrow{AB}$ 而且 $\overrightarrow{AC}$ 是相同射线，不是相反的射线。

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例子问题10:几何

，,是不同的点。

对或错: $\overrightarrow{AB}$ 而且 $\overrightarrow{AC}$ 是相反的射线。

声明1: AB+BC > AC

声明2: AB+ AC > BC

可能的答案:

两个表述合在一起能充分解题，但两个表述单独都不能充分解题。

表述一单独能充分解题，但表述二单独不能充分解题。

两个表述加在一起不足以回答这个问题。

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

任何一个表述单独都能充分解题。

正确答案:

表述二单独能充分解题，但表述一单独不能充分解题。

解释：

表述一单独不能解题。

案例1:检查下图。

AB+BC= AB + AB + AC > AC ，

从而满足表述1的条件。

同时, $\overrightarrow{AB}$ 而且 $\overrightarrow{AC}$ 是相反的射线，因为而且在同一条线的两边．

案例2:假设，,noncollinear。

这三个点是三角形的顶点，根据三角形不等式定理，

AB+BC > AC ．

此外, $\overrightarrow{AB}$ 而且 $\overrightarrow{AC}$ 不是同一条直线的一部分，也不是相对的射线。

现在单独假设表述二。如上图所示，如果 $\overrightarrow{AB}$ 而且 $\overrightarrow{AC}$ 是对边，然后通过线段相加， AB+BC = AC ，使表述2为假。相反，如果表述二成立，和 $AB+ AC \ne BC$ ,然后 $\overrightarrow{AB}$ 而且 $\overrightarrow{AC}$ 不是对射线。

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