GMAT数学:直线

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例子问题

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问题11:行

线段的中点在 (-1,3) 端点在 (3,8) ．另一个端点的坐标是什么?

可能的答案:

(-3,-1)

(-2,1)

(-5,-2)

(-3,-8)

(-2,-5)

正确答案:

(-5,-2)

解释：

因为已知中点和其中一个端点，我们知道另一个端点的x坐标在x方向上与中点的距离相等，另一个端点的y坐标在y方向上与中点的距离相等。给定这个形式的两个端点:

(x_1,y_1),(x_2,y_2)

这两个端点的中点坐标为:

$(x_m,y_m)=(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$

代入给定中点和其中一个端点的值，我们可以看到 (x_2,y_2) 由于它位于中点的右侧，我们可以求解另一个端点如下:

$(x_m,y_m)=(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$

$(-1,3)=(\frac{x_1+3}{2},\frac{y_1+8}{2})$

$\frac{x_1+3}{2}=-1\rightarrow x_1+3=-2\rightarrow x_1=-5$

$\frac{y_1+8}{2}=3\rightarrow y_1+8=6\rightarrow y_1=-2$

所以另一个端点有坐标 (-5,-2)

例子问题12:行

考虑部分与端点在 (8,9) ．如果的中点可在 (-15, -67) ，点的坐标是什么?

可能的答案:

(-143,-38)

(38,143)

(-46,-150)

(-38,-143)

(143,38)

正确答案:

(-38,-143)

解释：

回想一下中点公式:

$(x',y')=\left(\frac{x^1+x^2}{2}, \frac{y^1+y^2}{2}\right)$

在这种情况下，我们有(x'y')和另一个(x,y)点。

即插即用:

$(-15,-67)=\left(\frac{8+x}{2}, \frac{9+y}{2}\right)$

如果你把它分解成两个方程，然后解出来，你会得到下面的式子。

$\small -15=\frac{8+x}{2}, x=-38$

$\small -67=\frac{9+y}{2}, y=-143$

问题11:几何坐标

坐标平面上的线段有端点 (A,B+3) 而且 (A + 4, B) ．下面哪个表达式等于线段的长度?

可能的答案:

$\sqrt{7}$

$\sqrt{(2A+4)^{2} + (2B+3)^{2}}$

$\sqrt{(A-4)^{2} + (B-3)^{2}}$

$\sqrt{(2A-4)^{2} + (2B-3)^{2}}$

正确答案:

解释：

应用距离公式，设定

$x_{ 1} = A + 4, x_{2} = A ,y_{ 1} = B, y_{2} = B+3$ ：

$d = \sqrt{(x_{2}- x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$

$d = \sqrt{[A-(A+4)]^{2}+[(B+3)-B)]^{2}}$

$d = \sqrt{(-4)^{2}+3^{2}} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$

例子问题1:用距离公式计算直线长度

什么是距离 (6,7) 而且 (1,5) ?

可能的答案:

$\sqrt{12}$

$\sqrt{20}$

$\sqrt{29}$

$\sqrt{7}$

正确答案:

$\sqrt{29}$

解释：

$distance= \sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+y_{2}-y_{1})^2}$

$= \sqrt{(6-1)^2+(7-5)^2}$

$= \sqrt{(5)^2+(2)^2}$

$= \sqrt{(25+4)}$

$\sqrt{29}$

例子问题1:用距离公式计算直线长度

两点之间的距离是多少 (2, 5) 而且 (7, 17) ?

可能的答案:

$2 \√{5}$

正确答案:

解释：

把坐标代入距离公式。

$\√6{(2 - 7日)^{2}+(5)^{2}}= \√6{(5)^{2}+(-12)^{2}}大概25 + {144}= = \ \ sqrt {169} = 13$

例子问题2:用距离公式计算直线长度

两点之间的距离是多少 (1,4) 而且 (5,2) ?

可能的答案:

$2 \√{5}$

$3 \ sqrt {3}$

正确答案:

$2 \√{5}$

解释：

我们需要用距离公式来计算这两点之间的距离。

$\√6{(1 - 5)^{2}+(4 - 2)^{2}}= \√6 {(4)^ {2}+ (2)^ {2}}= \ sqrt {20} = \ sqrt {4} \ sqrt{5} = 2 \√{5}$

问题17:行

考虑部分 $\overline{JK}$ 哪个通过这些点 $\left ( 4,5\right )$ 而且 $\left ( 144,75\right )$ ．

求线段的长度 $\overline{JK}$ ．

可能的答案:

$169.4\ \textup{units}$

$168.2\ \textup{units}$

$134.6\ \textup{units}$

$176.5\ \textup{units}$

$156.5\ \textup{units}$

正确答案:

$156.5\ \textup{units}$

解释：

这个问题需要仔细应用距离公式，它实际上是毕达哥拉斯定理的一种改进形式。

$\small d=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2}$

把所有东西都代入，然后解决:

$\small \small d=\sqrt{(144-4)^2+(75-7)^2}=\sqrt{24500}\approx156.5$

所以答案是156.6

示例问题18:行

从这一点开始的线段的长度是多少 (1,-3) 在这一点结束 (4,1) ?

可能的答案:

正确答案:

解释：

使用两点之间直线长度的距离公式，我们可以代入给定值，通过计算两点之间的距离来确定线段的长度:

$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

$d=\sqrt{(4-1)^2+(1-(-3))^2}$

$d=\sqrt{(3)^2+(4)^2}$

$d=\sqrt{25}$

d=5

例子问题1:切线

求曲线切线的方程 y=x^2 在这一点上 (-1,1) ?

可能的答案:

y=-2x+1

y=-2x-1

y=x-2

$y=-\frac{1}{2}x+4$

y=-x+2

正确答案:

y=-2x-1

解释：

为了求出曲线在某一点的切线方程，我们首先需要求出曲线在该点的斜率。为了求出函数在任意点的斜率，我们需要它的导数:

$y=x^2\rightarrow y'=2x$

现在我们可以代入给定点的x值来求出函数的斜率，也就是该点切线的斜率

y'=2x

$y'(-1)=2(-1)=-2\rightarrow m=-2$

现在我们有了斜率，我们可以简单地将这个值代入给定的点来求解切线的y轴截距:

y=mx+b

1=(-2)(-1)+b

b=-1

我们已经计算了切线的斜率和它的y轴截距，所以曲线的切线方程 y=x^2 在这一点上 (-1,1) 标准格式为:

y=-2x-1

例子问题1:计算切线方程

求出在该点处与下面曲线相切的直线方程 (2,12) ．

f(x)=3x^2+4x-8

可能的答案:

y=16x-20

y=16x+13

y=-10x+11

y=-16x+20

y=10x-11

正确答案:

y=16x-20

解释：

首先我们求出切线的斜率通过对函数求导并代入-求斜率点的值:

f(x)=3x^2+4x-8

f'(x)=6x+4

f'(2)=6(2)+4=16

现在我们知道了切线的斜率，我们可以把它代入一条直线的方程和给定点的坐标，以便计算拦截:

y=mx+b

12=(16)(2)+b

b=-20

现在我们有而且，则可写出切线方程:

y=16x-20

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