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例子问题

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问题952:Ged数学

解出通过完成正方形:

$\small 4x^2+12x+2=0$

可能的答案:

$\small x=\frac{-9\pm \sqrt7}{2}$

$\small x=\frac{-9\pm \sqrt{-11}}{2}$

$\small x=\frac{-3\pm \sqrt{-11}}{2}$

$\small x=\frac{-3\pm \sqrt7}{2}$

正确答案:

$\small x=\frac{-3\pm \sqrt7}{2}$

解释：

$\small 4x^2+12x+2=0$

$\small 4x^2+12+2-2=0-2$

$\small 4x^2+12x=-2$

为了完成这个平方，我们必须加上一个数字，使方程左边是完全平方。完全平方有公式 $\small \small \small a^2+2ab+b^2$ 。

在这种情况下， $\small \small a=2x,\ 2ab=12x$ 。

$\small \small 12=2(2x)(b)=4xb; b=3$

$\small b^2=3^2=9$

两边加上这个:

$\small 4x^2+12x+9=-2+9$

$\small \small 4x^2+12x+9=7$

$\small (2x+3)^2=7$

$\small \sqrt{(2x+3)^2}=\pm \sqrt7$

$\small 2x+3=\pm \sqrt{7}$

$\small 2x+3-3=-3\pm \sqrt7$

$\small 2x=-3\pm \sqrt7$

$\small \frac{2x}{2}=\frac{-3\pm \sqrt7}{2}$

$\small x=\frac{-3\pm \sqrt7}{2}$

问题951:Ged数学

解出：

$4x ^{2} - 20x + 25 = 0$

可能的答案:

$x = 2\frac{1}{2}$

$x = - 2\frac{1}{2} \textrm{ or }x = 2\frac{1}{2}$

$x = \frac{2}{5}$

$x = -\frac{2}{5} \textrm{ or }x = \frac{2}{5}$

正确答案:

$x = 2\frac{1}{2}$

解释：

$4x ^{2} - 20x + 25$ 可以证明为完全平方多项式，如下:

$4x ^{2} - 20x + 25 = \left ( 2x\right )^{2} - 2 (2x)(5) + 5^{2}$

因此，可以使用模式对其进行分解

$A^{2}-2AB + B^{2} = \left (A - B \right )^{2}$

与 A = 2x, B = 5 。

我们可以据此重写并求解方程:

$4x ^{2} - 20x + 25 = 0$

$(2x-5) ^{2} = 0$

2x-5 = 0

2x = 5

$x = 5 \div 2$

$x = 2\frac{1}{2}$

这是唯一的解。

例子问题3:其他解法

解出：

x (x - 7) = 30

可能的答案:

x = 9 或 x = 13

x = -3 或 x = 10

x = 2 或 x = 6

x = 30 或 x = 37

正确答案:

x = -3 或 x = 10

解释：

当求解二次方程时，有必要先把它写成标准形式——即 $ax^{2} + bx + c = 0$ 。这个方程不是这样的形式，所以我们必须得到这样的形式:

x (x - 7) = 30

$x \cdot x -x \cdot 7 = 30$

$x ^{2} -7x = 30$

$x ^{2} -7x - 30 = 0$

我们把二次表达式因式分解为

(x+M)(x+N)

这 MN = -30 而且 M + N = -7 。

通过反复试验，我们发现

M = -10, N = 3 ，所以方程变成

(x-10)(x+3) = 0

将每个线性二项式设为0，分别求解:

x - 10 = 0

x = 10

x + 3 = 0

x = -3

解集是 $\left \{ -3, 10 \right \}$ 。

问题4:其他解法

解出：

$x^{2} - 12 = 6x+4$

可能的答案:

x = 4

x= -8 或 x= 2

x = -4 或 x = 4

x= -2 或 x= 8

正确答案:

x= -2 或 x= 8

解释：

当求解二次方程时，有必要先把它写成标准形式——即 $ax^{2} + bx + c = 0$ 。这个方程不是这样的形式，所以我们必须得到这样的形式:

$x^{2} - 12 = 6x+4$

$x^{2} - 12- 6x - 4 = 6x+4 - 6x - 4$

$x^{2} - 6x - 16 = 0$

我们把二次表达式因式分解为

(x+M)(x+N)

这 MN = -16 而且 M + N = -6 。

通过反复试验，我们发现

M = -8, N = 2 ，所以方程变成

(x-8)(x+2) = 0 。

将每个线性二项式设为0，分别求解:

x-8=0

x= 8

x+2= 0

x= -2

解集是 $\left \{ -2, 8\right \}$

例5:其他解法

四舍五入到十分位，就是方程的解 y=x^2+5x-13 ？

可能的答案:

5.1, -2.1

4.4, -1.2

x=-6.9

1.9, -6.9

2.9, -4.9

正确答案:

1.9, -6.9

解释：

用二次公式求解方程:

$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

对于这个方程， a=1, b=5, c=-13 。把这些值代入二次方程求。

$x=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4(1)(-13)}}{2(1)}=\frac{-5\pm\sqrt{77}}{2}$

x=1.9 而且 -6.9

例子问题1:其他解法

这个方程的解是什么 x^2+5x-7=0 ？你的答案四舍五入到最接近的十分位数。

可能的答案:

1.1

1.1, -6.1

4.5, -2.1

-6.1

正确答案:

1.1, -6.1

解释：

回想一下二次方程:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

对于给定的方程， a=1, b=5, c=-7 。把这些代入方程求解。

$x=\frac{-5+\sqrt{5^2-4(1)(-7))}}{2(1)}=\frac{-5+\sqrt{25+28}}{2}=\frac{-5+\sqrt{53}}{2}=1.1$

而且

$x=\frac{-5-\sqrt{5^2-4(1)(-7))}}{2(1)}=\frac{-5-\sqrt{25+28}}{2}=\frac{-5-\sqrt{53}}{2}=-6.1$

示例问题7:其他解法

这个方程的解是什么 x^2+4x-10=0 ？你的答案四舍五入到最近的百分位。

可能的答案:

-5.74, 1.74

-1.74, 5.74

1.74

5.74

正确答案:

-5.74, 1.74

解释：

用二次方程求解此方程:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

对于这个方程 x^2+4x-10=0 ， a=1, b=4, c=-10

把它代入方程求解。

$x=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4(1)(-10)}}{2}$

$x=\frac{-4\pm \sqrt{16+40}}{2}$

$x=\frac{-4\pm \sqrt{56}}{2}$

x=1.74 而且 x=-5.74

例8:其他解法

用二次公式求解x:

$2x^{2}+7x-85=0$

可能的答案:

X = 10或X = -17

X = -5或X = 8.5

X = 5或X = -8.5

X = 5

X = -8.5

正确答案:

X = 5或X = -8.5

解释：

我们有这样的二次方程 $ax^{2}+bx+c=0$

二次公式为:

$x=\frac{-b_{-}^{+}{\sqrt{b^{2}-4ac}}}{2a}$

使用 $2x^{2}+7x-85=0$

$x=\frac{-7_{-}^{+}{\sqrt{(7)^{2}-4(2)(-85)}}}{2(2)}$

$x=\frac{-7_{-}^{+}{\sqrt{49+680}}}{4}$

$x=\frac{-7_{-}^{+}{\sqrt{729}}}{4}$

$x=\frac{-7_{-}^{+}{27}}{4}$

$x=\frac{-7+27}{4}$ $x=\frac{-7-27}{4}$

$x=\frac{20}{4}$ $x=\frac{-34}{4}$

$\textbf{x=5}$ $\textbf{x=-8.5}$

问题9:其他解法

通过补全平方，求出x的如下值:

$x^{2}+8x-3=0$

可能的答案:

$x=4+\sqrt{19}$ 或 $x=4-\sqrt{19}$

$x=-4+\sqrt{3}$ 或 $x=-4-\sqrt{3}$

$x=-4+\sqrt{19}$

$x=-4+\sqrt{67}$ 或 $x=-4-\sqrt{67}$

$x=-4+\sqrt{19}$ 或 $x=-4-\sqrt{19}$

正确答案:

$x=-4+\sqrt{19}$ 或 $x=-4-\sqrt{19}$

解释：

为了完成这个正方形，我们需要把变量项放在一边，常数项放在另一边。

1） $x^{2}+8x-3=0$

$x^{2}+8x=3$

2)为了得到一个完全平方的三项式，我们需要取x项的二分之一和该项的平方。两边同时加上平方项。

$x^{2}+8x+{\color{Blue} 16}=3+{\color{Blue} 16}$

$x^{2}+8x+16=19$

3)我们现在在左边有一个完全平方的三项式，它可以表示为二项式的平方。我们应该确认一下。

＊ $a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$ (标准格式)

在方程中:

$(x)^{2}+8x+(4)^{2}$

a=x

b=4

2ab=2(x)(4)=8x (检查)

4)用二项式的平方表示完全平方的三项式:

$x^{2}+4x+16=(x+4)^{2}$

5)两边取平方根:

$(x+4)^{2}=19$

$\sqrt{(x+4)^{2}}=_{-}^{+}\sqrt{19}$

$(x+4)=_{-}^{+}\sqrt{19}$

6)解x

$x= -4_{-}^{+}\sqrt{19}$

$x=-4+\sqrt{19}$ 或 $x=-4-\sqrt{19}$

例子问题10:其他解法

根是什么 $6x^{2}+16x-70=0$

可能的答案:

x=14

x=14 或 x=-30

$x=\frac{7}{3}$

$x=\frac{-7}{3}$ 或 x=5

$x=\frac{7}{3}$ 或 x=-5

正确答案:

$x=\frac{7}{3}$ 或 x=-5

解释：

$6x^{2}+16x-70=0$ 涉及的数字很大，所以这里用二次公式。

$x=\frac{-b_{-}^{+}\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$x=\frac{-16_{-}^{+}\sqrt{(16)^{2}-4(6)(-70)}}{2(6)}$

$x=\frac{-16_{-}^{+}\sqrt{256+1680}}{12}$

$x=\frac{-16_{-}^{+}\sqrt{1936}}{12}$

$x=\frac{-16_{-}^{+}44}{12}$

$x=\frac{-16+44}{12}$ 或 $x=\frac{-16-44}{12}$

$x=\frac{28}{12}$ $x=\frac{-60}{12}$

$x=\frac{\textbf{7}}{\textbf{3}}$ $x=\textbf{-5}$

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