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数学:代数

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例子问题

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例子问题1:简化、分配和分解

繁殖:

$\small -x(4x+2)=$

可能的答案:

$\small 4x^2+2x$

$\small -4x^2-2x$

$\small 4x^2-2x$

$\small -4x^2+2x$

正确答案:

$\small -4x^2-2x$

解释：

$\small -x(4x+2)=(-x)(4x)+(-x)(2)=-4x^2+(-2x)=-4x^2-2x$

例子问题1:代数

因素:

$\small x^2+5x+4$

可能的答案:

$\small (x+5)(x-1)$

$\small (x-4)(x-1)$

$\small (x-5)(x+1)$

$\small (x+4)(x+1)$

正确答案:

$\small (x+4)(x+1)$

解释：

$\small x^2+5x+4=(x+a)(x+b)$

在哪里

$\small a+b=5\ and\ ab=4$

这些数字 $\small 4$ 而且 $\small 1$ 符合这些标准。因此,

$\small x^2+5x+4=(x+1)(x+4)$

你可以使用FOIL方法再次检查答案

例子问题3:代数

下列哪个是不的质因数 $y^{4}- 81$ ?

可能的答案:

$y^{2}+9$

y - 3

$y^{2}-9$

y + 3

正确答案:

$y^{2}-9$

解释：

因素 $y^{4}- 81$ 一直到质因数分解。

$y^{4}- 81$ 可因式分解为两个完全平方项之差:

$y^{4}- 81$

$=\left ( y^{2} \right )^{2} - 9^{2}$

$=\left ( y^{2} + 9 \right )\left ( y^{2} - 9 \right )$

$y^{2} + 9$ 是一个因数，作为平方和，它是一个素数。 $y^{2} - 9$ 也是一个因素，但不是主要的因式-它可以因式分解为两个完全平方项之差。我们继续:

$\left ( y^{2} + 9 \right )\left ( y^{2} - 9 \right )$

$=\left ( y^{2} + 9 \right )\left ( y^{2} - 3^{2} \right )$

$=\left ( y^{2} + 9 \right )\left (y+3 \right )\left ( y-3\right )$

因此，所有给定的多项式都是 $y^{4}- 81$ ,但 $y^{2} - 9$ 是正确的选择，还是不作为主要的的因素。

例子问题1:简化、分配和分解

下列哪个是质因数 $n^{4} + 30n^{2} +225$ ?

可能的答案:

$n^{2}+9$

$n^{2}+15$

$n^{2}+75$

$n^{2}+25$

正确答案:

$n^{2}+15$

解释：

$n^{4} + 30n^{2} +225$ 是否符合这个模式

$A ^{2} + 2AB + B^{2}$ ：

$n^{4} + 30n^{2} +225 = \left (n^{2} \right ) ^{2}+ 2 \cdot n^{2} \cdot 15 + 15 ^{2}$

在哪里 $A = n^{2} , B = 15$

$A ^{2}+2AB + B^{2}$ 可以因式分解为 $(A+B ) ^{2}$ ,所以

$n^{4} + 30n^{2} +225 = \left (n^{2} \right ) ^{2}+ 2 \cdot n^{2} \cdot 15 + 15 ^{2} = (n^{2}+15)^{2}$ ．

$n^{2}+15$ 不符合任何因式分解模式，所以它是质数，上面是多项式的完全因式分解。因此, $n^{2}+15$ 是正确的选择。

例5:代数

分:

$\left ( 12 x ^{5} + 9x^{3}+ 6x^{2}+36 x \right ) \div 6x$

可能的答案:

$6x ^{4} + 3x ^{2} +x + 30$

$6x ^{4} + 3x ^{2} + 30$

$2x ^{4} + \frac{ 3 }{2 }x ^{2} + x+ 6$

$2x ^{4} +3x ^{2} + 6$

正确答案:

$2x ^{4} + \frac{ 3 }{2 }x ^{2} + x+ 6$

解释：

将逐项地:

$\left ( 12 x ^{5} + 9x^{3}+ 6x^{2}+36 x \right ) \div 6x$

$= \frac{ 12 x ^{5} + 9x^{3}+ 6x^{2}+36 x }{6x}$

$= \frac{ 12 x ^{5} }{6x} + \frac{ 9x^{3} }{6x} + \frac{ 6x^{2} }{6x}+ \frac{ 36 x }{6x}$

$= \frac{ 12 }{6} x ^{5-1} + \frac{ 9 }{6 }x ^{3-1} + \frac{ 6 }{6}x^{2-1}+ \frac{ 36 }{6 }$

$=2x ^{4} + \frac{ 3 }{2 }x ^{2} + x+ 6$

例子问题6:代数

繁殖:

$\left (100Y^{2}+ 110Y + 121 \right )(10Y-11)$

可能的答案:

$1,000Y^{3}+ 1,100Y^{2}-1,210Y - 1,331$

$1,000Y^{3}- 1,100Y^{2}+1,210Y - 1,331$

$1,000Y^{3}- 3,300Y^{2}+3,630Y - 1,331$

$1,000Y^{3}- 1,331$

正确答案:

$1,000Y^{3}- 1,331$

解释：

$\left (100Y^{2}+ 110Y + 121 \right )(10Y-11)$

$=\left [\left (10Y \right) ^{2}+ 10Y \cdot 11 + 11^{2} \right] (10Y-11)$

此产品符合立方体图案的差异，其中 A = 10Y, B = 11 ：

$(A^{2}+AB +B^{2})(A-B) = A^{3}-B^{3}$

所以

$\left [\left (10Y \right) ^{2}+ 10Y \cdot 11 + 11^{2} \right] (10Y-11)$

$= \left ( 10Y\right )^{3} -11^{3} = 1,000Y^{3}-1,331$

示例问题7:代数

给出的值这就得到了多项式 $121x^{2}- Nx + 49$ 线性二项式的平方。

可能的答案:

N = 198

N = 154

N = 77

N = 231

正确答案:

N = 154

解释：

一个二次三项式是完全平方当且仅当它具有这种形式

$A^{2} \pm 2AB + B^{2}$ 对于某些值而且．

$121x^{2}- Nx + 49= (11x)^{2} - Nx + 7^{2}$ ,所以

A = 11x 而且 B = 7 ．

为 $121x^{2}- Nx + 49$ 要成为完全平方，它必须满足这个条件

$Nx = 2AB = 2 \cdot 11x \cdot 7 = 154x$ ，

所以 N = 154 ．这是正确的选择。

例子问题1:简化、分配和分解

下列哪个是多项式的因子 $x^{4}-13x^{2}+ 36$ ?

可能的答案:

x-2

x-1

x-9

x - 4

正确答案:

x-2

解释：

也许识别因子最简单的方法是利用因子定理，它指出 x-a 是多项式的因子吗 P(x) 当且仅当 P(a)= 0 ．我们用1 2 4 9代入用多项式来确定因子。

x=1 ：

$1^{4}-13 \cdot 1^{2}+ 36$

= 1 - 13 + 36

= 24

x=2 ：

$2^{4}-13 \cdot 2^{2}+ 36$

$= 16- 13 \cdot 4 + 36$

= 16 -52 + 36

= 0

x =4 ：

$4^{4}-13 \cdot 4^{2}+ 36$

$= 256- 13 \cdot 16 + 36$

= 256 -208 +36

= 84

x=9 ：

$9^{4}-13 \cdot 9^{2}+ 36$

$= 6,561- 13 \cdot 81 + 36$

= 6,561- 1,053+ 36

= 5,544

只有 x = 2 使多项式等于0，所以在选项中，只有 x-2 是一个因子。

例子问题1:代数

下列哪个是质因数 $x^{6} +1$ ?

可能的答案:

$x^{2}+1$

$x^{2}-x+1$

x+1

$x^{2}+x+1$

正确答案:

$x^{2}+1$

解释：

$x^{6} +1$ 是两个方数的和:

$x^{6} +1 =\left ( x^{2} \right ) ^{3}+1^{3}$

因此，可以使用模式对其进行分解

$A^{3}+ B^{3}= (A+B)(A^{2}-AB+B^{2})$

在哪里 $A = x^{2}, B = 1$ ；

$x^{6} +1 =\left ( x^{2} \right ) ^{3}+1^{3}$

$= (x^{2}+1)((x^{2})^{2}-x^{2} \cdot 1 + 1^{2})$

$= (x^{2}+1)(x^{4}-x^{2} + 1)$

第一个因子，作为平方和，是质数。

我们试图通过注意到它是基于“二次风格”来分解第二个 $x^{2}$ ．可以写成

$= (x^{2})^{2}-x^{2} + 1$ ；

我们试图把它分解为 $(x^{2}+\; \; \; )(x^{2}+\; \; \; )$

我们需要一对整数，它们的乘积是1，它们的和是．这些整数不存在，所以 $x^{4}-x^{2} + 1$ 是质数。

$(x^{2}+1)(x^{4}-x^{2} + 1)$ 质因数分解和正确的反应是什么 $x^{2}+1$ ．

例子问题1:单变量代数

下列哪个是多项式的因子 $x^{6} - 66x^{3} + 128$

可能的答案:

x-2

x+4

x-4

x+2

正确答案:

x-4

解释：

也许识别因子最简单的方法是利用因子定理，它指出 x-a 是多项式的因子吗 P(x) 当且仅当 P(a)= 0 ．我们的替代品 $\pm2$ 而且 $\pm 4$ 为用多项式来确定因子。

x = 2 ：

$x^{6} - 66x^{3} + 128$

$2^{6} - 66 \cdot 2^{3} + 128$

$= 64 - 66 \cdot 8 + 128$

= 64 - 528 + 128

= -336

x = -2 ：

$x^{6} - 66x^{3} + 128$

$\left (-2 \right )^{6} - 66 \cdot \left (-2 \right )^{3} + 128$

$= 64 - 66 \cdot\left ( -8 \right )+ 128$

= 64 + 528 + 128

= 720

x = 4 ：

$x^{6} - 66x^{3} + 128$

$4^{6} - 66 \cdot 4^{3} + 128$

$= 4,096- 66 \cdot 64 + 128$

= 4,096- 4,224 + 128

= 0

x = -4 ：

$x^{6} - 66x^{3} + 128$

$\left (-4 \right )^{6} - 66 \cdot \left (-4 \right )^{3} + 128$

$= 4,096- 66 \cdot\left ( -64 \right )+ 128$

= 4,096+4,224 + 128

= 8,448

只有 x = 4 使多项式等于0，所以在四个选项中，只有 x - 4 是多项式的因子。

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