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共同核心:高中-函数:三角函数

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例子问题

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问题81:三角函数

解出 $\theta$ ．

$\tan(\theta)+1=-\sqrt{3}+1$

可能的答案:

$\theta=\frac{2\pi}{6},\frac{5\pi}{3}$

$\theta=\frac{2\pi}{3},\frac{5\pi}{3}$

$\theta=\frac{2\pi}{6},\frac{5\pi}{6}$

$\theta=\frac{2\pi}{3},\frac{5\pi}{6}$

$\theta=\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}$

正确答案:

$\theta=\frac{2\pi}{3},\frac{5\pi}{3}$

解释：

这道题是测试一个人理解和识别三角函数在与单位圆相关的方程中的逆的能力。

为了共同核心标准的目的，“使用逆函数来解决建模环境中出现的三角方程;评估使用技术的解决方案，并根据上下文的概念来解释它们(CCSS.MATH.CONTENT.HSF-TF.B.7)。值得注意的是，这个标准不是直接测试的，而是用于建立对三角函数更深入的理解。

了解了标准和与之相关的概念之后，我们就可以一步一步地解决问题了。

步骤1:使用代数运算来操作函数。

$\tan(\theta)+1=-\sqrt{3}+1$

两边各减1。

$\tan(\theta)+1{\color{Red} -1}=-\sqrt{3}+1{\color{Red} -1}$

$\tan(\theta)=-\sqrt{3}$

步骤2:为了分离theta，执行反三角运算。

$\\ \tan^{-1}(\tan(\theta))=\tan^{-1}(-\sqrt{3})$

$\theta=\tan^{-1}(-\sqrt{3})$

第三步:用单位圆求解。

截图2016年01月14日上午10点52分42分

回想一下,

$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

因此，要使正切等于1,sin和cos必须彼此相等。

因此,

$\tan\left(\frac{2\pi}{3} \right )=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot -\frac{2}{1}=-\sqrt{3}$

$\tan\left(\frac{5\pi}{3} \right )=\frac{\frac{-\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{-\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{2}{1}=-\sqrt{3}$

第四步:回答问题。

解 $\theta$ 得到两个可能的值，

$\theta=\frac{2\pi}{3},\frac{5\pi}{3}$

报告错误

问题82:三角函数

解出 $\theta$ ．

$2\tan(\theta)=-2\sqrt{3}$

可能的答案:

$\theta=\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}$

$\theta=\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}$

$\theta=\frac{2\pi}{3},\frac{5\pi}{6}$

$\theta=\frac{2\pi}{3},\frac{5\pi}{3}$

$\theta=\frac{2\pi}{6},\frac{5\pi}{6}$

正确答案:

$\theta=\frac{2\pi}{3},\frac{5\pi}{3}$

解释：

这道题是测试一个人理解和识别三角函数在与单位圆相关的方程中的逆的能力。

了解了标准和与之相关的概念之后，我们就可以一步一步地解决问题了。

步骤1:使用代数运算来操作函数。

$2\tan(\theta)=-2\sqrt{3}$

两边同时除以2。

$\frac{2\tan(\theta)}{2}=\frac{-2\sqrt{3}}{2}$

$\tan(\theta)=-\sqrt{3}$

步骤2:为了分离theta，执行反三角运算。

$\\ \tan^{-1}(\tan(\theta))=\tan^{-1}(-\sqrt{3})$

$\theta=\tan^{-1}(-\sqrt{3})$

第三步:用单位圆求解。

截图2016年01月14日上午10点52分42分

回想一下,

$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

因此，要使正切等于1,sin和cos必须彼此相等。

因此,

$\tan\left(\frac{2\pi}{3} \right )=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot -\frac{2}{1}=-\sqrt{3}$

$\tan\left(\frac{5\pi}{3} \right )=\frac{\frac{-\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{-\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{2}{1}=-\sqrt{3}$

第四步:回答问题。

解 $\theta$ 得到两个可能的值，

$\theta=\frac{2\pi}{3},\frac{5\pi}{3}$

报告错误

问题83:三角函数

解出 $\theta$ ．

$\tan(\theta)+1=1-\frac{1}{\sqrt{3}}$

可能的答案:

$\theta=\frac{5\pi}{6},\frac{11\pi}{6}$

$\theta=\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6}$

$\theta=\frac{5\pi}{3},\frac{11\pi}{6}$

$\theta=\frac{5\pi}{3},\frac{11\pi}{3}$

$\theta=\frac{5\pi}{6},\frac{11\pi}{3}$

正确答案:

$\theta=\frac{5\pi}{6},\frac{11\pi}{6}$

解释：

这道题是测试一个人理解和识别三角函数在与单位圆相关的方程中的逆的能力。

了解了标准和与之相关的概念之后，我们就可以一步一步地解决问题了。

步骤1:使用代数运算来操作函数。

$\tan(\theta)+1=1-\frac{1}{\sqrt{3}}$

两边各减1。

$\tan(\theta)+1{\color{Red} -1}=1-\frac{1}{\sqrt{3}}{\color{Red} -1}$

$\tan(\theta)=-\frac{1}{\sqrt{3}}$

步骤2:为了分离theta，执行反三角运算。

$\\ \tan^{-1}(\tan(\theta))=\tan^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$

$\theta=\tan^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}} \right )$

第三步:用单位圆求解。

截图2016年01月14日上午10点52分42分

回想一下,

$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

因此，要使正切等于1,sin和cos必须彼此相等。

因此,

$\tan\left(\frac{5\pi}{6} \right )=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{-\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{2}\cdot -\frac{2}{\sqrt{3}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\tan\left(\frac{11\pi}{6} \right )=\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=-\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$

第四步:回答问题。

解 $\theta$ 得到两个可能的值，

$\theta=\frac{5\pi}{6},\frac{11\pi}{6}$

报告错误

问题84:三角函数

解出 $\theta$ ．

$-\tan(\theta)+2=3$

可能的答案:

$\theta=\frac{3\pi}{4},\frac{7\pi}{3}$

$\theta=\frac{3\pi}{2},\frac{7\pi}{2}$

$\theta=\frac{3\pi}{2},\frac{7\pi}{4}$

$\theta=\frac{\pi}{4},\frac{7\pi}{4}$

$\theta=\frac{3\pi}{4},\frac{7\pi}{4}$

正确答案:

$\theta=\frac{3\pi}{4},\frac{7\pi}{4}$

解释：

这道题是测试一个人理解和识别三角函数在与单位圆相关的方程中的逆的能力。

了解了标准和与之相关的概念之后，我们就可以一步一步地解决问题了。

步骤1:使用代数运算来操作函数。

$-\tan(\theta)+2=3$

两边同时减去2。

$-\tan(\theta)+2{\color{Red} -2}=3{\color{Red} -2}$

$-\tan(\theta)=1$

两边同时除以- 1。

$\tan(\theta)=-1$

步骤2:为了分离theta，执行反三角运算。

$\\ \tan^{-1}(\tan(\theta))=\tan^{-1}(-1)$

$\theta=\tan^{-1}(-1)$

第三步:用单位圆求解。

截图2016年01月14日上午10点52分42分

回想一下,

$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$

因此，要使正切等于1,sin和cos必须彼此相等。

因此,

$\tan\left(\frac{3\pi}{4} \right )=\frac{\frac{1}{\sqrt2}}{-\frac{1}{\sqrt2}}=\frac{1}{\sqrt2}\cdot -\frac{\sqrt2}{1}=-1$

$\tan\left(\frac{7\pi}{4} \right )=\frac{-\frac{1}{\sqrt2}}{\frac{1}{\sqrt2}}=-\frac{1}{\sqrt2}\cdot \frac{\sqrt2}{1}=-1$ ．

第四步:回答问题。

解 $\theta$ 得到两个可能的值，

$\theta=\frac{3\pi}{4},\frac{7\pi}{4}$

报告错误

问题85:三角函数

如果 $\theta$ 在象限IV，余弦函数如下，

$\cos(\theta)=\frac{12}{13}$

找到

$\sin(\theta)$ ?

可能的答案:

$\sin(\theta)=-\frac{5}{12}$

$\sin(\theta)=-\frac{12}{13}$

$\sin(\theta)=-\frac{5}{13}$

$\sin(\theta)=\frac{5}{13}$

$\sin(\theta)=\frac{5}{12}$

正确答案:

$\sin(\theta)=-\frac{5}{13}$

解释：

这个问题测试一个人对勾股定理的理解，因为它与三角函数有关。本文还采用了函数的代数处理方法，借助三角恒等式来简化和解决问题。对于这样的问题，重要的是要回忆一下勾股定理，因为它与三角函数有关

$\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$

对任意值都成立 $\theta$ ．

为了共同核心标准的目的，证明毕达哥拉斯的同一性 $\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$ 并使用它来精细正弦、余弦或正切和角的象限”，属于“证明和应用三角恒等式”概念的C类(CCSS.MATH.CONTENT.HSF.TF.C)。

了解了标准和与之相关的概念之后，我们就可以一步一步地解决问题了。

步骤1:识别给定的信息。

鉴于

$\cos(\theta)=\frac{12}{13}$

题目说角在象限IV，这意味着正弦和正切为负，而余弦为正。(记住这句话的一个简单方法是“所有学生都学微积分”;这意味着在象限I中所有的三角函数都是正的，在象限II中只有正弦函数及其逆函数是正的，在象限III中只有正切函数及其逆函数是正的，而在象限IV中只有余弦函数及其逆函数是正的。ASTC)

步骤2:将给定信息代入毕达哥拉斯恒等式，并使用代数运算来求解未知。

$\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$

$\sin^2(\theta)+\left(\frac{12}{13}\right)^2=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{12^2}{13^2}=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{144}{169}=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{144}{169}-\frac{144}{169}=1-\frac{144}{169}$

$\sin^2(\theta)=\frac{169-144}{169}$

$\sin^2(\theta)=\frac{25}{169}$

$\sqrt{\sin^2(\theta)}=\sqrt{\frac{25}{169}}$

$\sin(\theta)=\pm\frac{5}{13}$

第三步:利用象限信息，解决问题。

因为题目说这个角在象限IV，这就意味着sin是负的。

因此,

$\sin(\theta)=-\frac{5}{13}$

报告错误

问题81:三角函数

如果 $\theta$ 在象限IV，余弦函数如下，

$\cos(\theta)=\frac{12}{13}$

找到

$\tan(\theta)$ ?

可能的答案:

$\tan(\theta)=\frac{5}{12}$

$\tan(\theta)=-\frac{12}{5}$

$\tan(\theta)=-\frac{5}{12}$

$\tan(\theta)=-\frac{5}{13}$

$\tan(\theta)=\frac{5}{13}$

正确答案:

$\tan(\theta)=-\frac{5}{12}$

解释：

$\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$

对任意值都成立 $\theta$ ．

$\tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$

了解了标准和与之相关的概念之后，我们就可以一步一步地解决问题了。

步骤1:识别给定的信息。

鉴于

$\cos(\theta)=\frac{12}{13}$

步骤2:将给定信息代入毕达哥拉斯恒等式，并使用代数运算来求解未知。

$\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$

$\sin^2(\theta)+\left(\frac{12}{13}\right)^2=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{12^2}{13^2}=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{144}{169}=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{144}{169}-\frac{144}{169}=1-\frac{144}{169}$

$\sin^2(\theta)=\frac{169-144}{169}$

$\sin^2(\theta)=\frac{25}{169}$

$\sqrt{\sin^2(\theta)}=\sqrt{\frac{25}{169}}$

$\sin(\theta)=\pm\frac{5}{13}$

第三步:利用象限信息，解决问题。

因为题目说这个角在象限IV，这就意味着sin是负的。

因此,

$\sin(\theta)=-\frac{5}{13}$

第四步:计算切线。

$\tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$

$\tan(\theta)=\frac{-\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}}$

$\tan(\theta)=-\frac{5}{13}\times\frac{13}{12}$

$\tan(\theta)=-\frac{5}{12}$

报告错误

例子问题1:毕达哥拉斯恒等式证明:Ccss.Math.Content.Hsf . Tf.C.8

如果 $\theta$ 在象限IV，余弦函数如下，

$\cos(\theta)=\frac{8}{17}$

找到

$\sin(\theta)$ ?

可能的答案:

$\sin(\theta)=-\frac{8}{15}$

$\sin(\theta)=\frac{15}{17}$

$\sin(\theta)=-\frac{15}{17}$

$\sin(\theta)=-\frac{17}{15}$

$\sin(\theta)=\frac{17}{15}$

正确答案:

$\sin(\theta)=-\frac{15}{17}$

解释：

$\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$

对任意值都成立 $\theta$ ．

了解了标准和与之相关的概念之后，我们就可以一步一步地解决问题了。

步骤1:识别给定的信息。

鉴于

$\cos(\theta)=\frac{8}{17}$

步骤2:将给定信息代入毕达哥拉斯恒等式，并使用代数运算来求解未知。

$\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$

$\sin^2(\theta)+\left(\frac{8}{17}\right)^2=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{8^2}{17^2}=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{64}{289}=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{64}{289}-\frac{64}{289}=1-\frac{64}{289}$

$\sin^2(\theta)=\frac{289-64}{289}$

$\sin^2(\theta)=\frac{225}{289}$

$\sqrt{\sin^2(\theta)}=\sqrt{\frac{225}{289}}$

$\sin(\theta)=\pm\frac{15}{17}$

第三步:利用象限信息，解决问题。

因为题目说这个角在象限IV，这就意味着sin是负的。

因此,

$\sin(\theta)=-\frac{15}{17}$

报告错误

问题88:三角函数

如果 $\theta$ 在象限IV，余弦函数如下，

$\cos(\theta)=\frac{8}{17}$

找到

$\tan(\theta)$

可能的答案:

$\tan(\theta)=\frac{15}{17}$

$\tan(\theta)=\frac{15}{8}$

$\tan(\theta)=-\frac{15}{17}$

$\tan(\theta)=-\frac{15}{8}$

$\tan(\theta)=\frac{8}{15}$

正确答案:

$\tan(\theta)=-\frac{15}{8}$

解释：

$\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$

对任意值都成立 $\theta$ ．

$\tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$

了解了标准和与之相关的概念之后，我们就可以一步一步地解决问题了。

步骤1:识别给定的信息。

鉴于

$\cos(\theta)=\frac{8}{17}$

步骤2:将给定信息代入毕达哥拉斯恒等式，并使用代数运算来求解未知。

$\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$

$\sin^2(\theta)+\left(\frac{8}{17}\right)^2=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{8^2}{17^2}=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{64}{289}=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{64}{289}-\frac{64}{289}=1-\frac{64}{289}$

$\sin^2(\theta)=\frac{289-64}{289}$

$\sin^2(\theta)=\frac{225}{289}$

$\sqrt{\sin^2(\theta)}=\sqrt{\frac{225}{289}}$

$\sin(\theta)=\pm\frac{15}{17}$

第三步:利用象限信息，解决问题。

因为题目说这个角在象限IV，这就意味着sin是负的。

因此,

$\sin(\theta)=-\frac{15}{17}$

第四步:计算切线。

$\tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$

$\tan(\theta)=\frac{-\frac{15}{17}}{\frac{8}{17}}$

$\tan(\theta)=-\frac{15}{17}\times\frac{17}{8}$

$\tan(\theta)=-\frac{15}{8}$

报告错误

问题89:三角函数

如果 $\theta$ 在象限IV，余弦函数如下，

$\cos(\theta)=\frac{12}{37}$

找到

$\sin(\theta)$ ?

可能的答案:

$\sin(\theta)=-\frac{35}{37}$

$\sin(\theta)=\frac{35}{37}$

$\sin(\theta)=\frac{37}{35}$

$\sin(\theta)=-\frac{37}{35}$

$\sin(\theta)=-\frac{35}{12}$

正确答案:

$\sin(\theta)=-\frac{35}{37}$

解释：

$\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$

对任意值都成立 $\theta$ ．

了解了标准和与之相关的概念之后，我们就可以一步一步地解决问题了。

步骤1:识别给定的信息。

鉴于

$\cos(\theta)=\frac{12}{37}$

步骤2:将给定信息代入毕达哥拉斯恒等式，并使用代数运算来求解未知。

$\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$

$\sin^2(\theta)+\left(\frac{12}{37}\right)^2=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{12^2}{37^2}=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{144}{1369}=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{144}{1369}-\frac{144}{1369}=1-\frac{144}{1369}$

$\sin^2(\theta)=\frac{1369-144}{1369}$

$\sin^2(\theta)=\frac{1225}{1369}$

$\sqrt{\sin^2(\theta)}=\sqrt{\frac{1225}{1369}}$

$\sin(\theta)=\pm\frac{35}{37}$

第三步:利用象限信息，解决问题。

因为题目说这个角在象限IV，这就意味着sin是负的。

因此,

$\sin(\theta)=-\frac{35}{37}$

报告错误

问题90:三角函数

如果 $\theta$ 在象限IV，余弦函数如下，

$\cos(\theta)=\frac{12}{37}$

找到

$\tan(\theta)$ ?

可能的答案:

$\tan(\theta)=\frac{12}{35}$

$\tan(\theta)=-\frac{35}{37}$

$\tan(\theta)=\frac{35}{12}$

$\tan(\theta)=-\frac{35}{12}$

$\tan(\theta)=-\frac{12}{35}$

正确答案:

$\tan(\theta)=-\frac{35}{12}$

解释：

$\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$

对任意值都成立 $\theta$ ．

$\tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$

了解了标准和与之相关的概念之后，我们就可以一步一步地解决问题了。

步骤1:识别给定的信息。

鉴于

$\cos(\theta)=\frac{12}{37}$

步骤2:将给定信息代入毕达哥拉斯恒等式，并使用代数运算来求解未知。

$\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$

$\sin^2(\theta)+\left(\frac{12}{37}\right)^2=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{12^2}{37^2}=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{144}{1369}=1$

$\sin^2(\theta)+\frac{144}{1369}-\frac{144}{1369}=1-\frac{144}{1369}$

$\sin^2(\theta)=\frac{1369-144}{1369}$

$\sin^2(\theta)=\frac{1225}{1369}$

$\sqrt{\sin^2(\theta)}=\sqrt{\frac{1225}{1369}}$

$\sin(\theta)=\pm\frac{35}{37}$

第三步:利用象限信息，解决问题。

因为题目说这个角在象限IV，这就意味着sin是负的。

因此,

$\sin(\theta)=-\frac{35}{37}$

第四步:计算切线。

$\tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$

$\tan(\theta)=\frac{-\frac{35}{37}}{\frac{12}{37}}$

$\tan(\theta)=-\frac{35}{37}\times\frac{37}{12}$

$\tan(\theta)=-\frac{35}{12}$

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