假设有一个函数这个函数加上它的导数是这个函数的解．这就得到了微分方程

这是一个微分方程因为方程中既有原函数也有导数。

回想一下，微分方程是一个方程它的函数和至少一个导数都在方程中。最后一个答案,是唯一一个方程中既有函数也有导数这就是我们的答案。

首先我们要求关于的导数我们的函数．

现在我们可以把它代回我们已知的微分方程。

为了进一步简化，我们也写下来而言,．所以我们最初的功能说．我们将插头在所有微分方程中的项。

所以不是微分方程的解吗．

我们从求导开始我们的函数．

接下来我们将把这个值代入微分方程。

接下来我们将写下所有内容而言,．回想一下我们最初的函数是这么说的我们会把它代入条款。

所以,是微分方程的解吗．

让我们考虑．通过求导我们可以看到．我们将把它代入微分方程．

所以是微分方程的解吗

不是所有的微分方程都有解。很多，如果不是全部，一阶微分方程都有解。当我们进入二阶和三阶微分方程时，有些方程可能没有解。

这是一个二阶微分方程。回想一下，微分方程是既有一个函数又有至少一个导数的方程。有一个以上导数的方程，例如有一阶、二阶和三阶导数的方程，仍然是微分方程。这个二阶微分方程包含二阶导数。

让我们考虑一下这个等式．如果我们求导，我们会看到．代入在微分方程中进行替换．

所以这个函数是微分方程的解吗．

考虑．这个函数的导数是．现在把它代入微分方程，然后替换与．

这是微分方程的解是．

在上面的例子中，这是唯一一个随时间变化的例子。种群的增长会随着时间的推移而变化，这取决于几个因素，如可用资源、捕食者/被捕食者的相互作用和承载能力。指数增长模型实际上是一个微分方程:

在哪里增长率和是当前的人口。这个微分方程有解．通常情况下(如果不是所有情况)人口不可能永远呈指数增长，所以我们也有一个微分方程，这是考虑到承载力的逻辑增长模型:

在哪里是承载能力。这个微分方程的解是．