假设有一个函数这个函数加上它的导数就是这个函数的解．这就得到了微分方程:

这是一个微分方程因为方程中既有函数也有导数。

回想一下，微分方程是方程中既有函数又有至少一个导数的方程。最后一个答案，是唯一一个方程同时包含函数和导数的方程这就是我们的答案。

首先我们要对。求导我们的函数．

现在我们可以把这个代回到已知的微分方程中。

为了进一步简化，让我们也写下来在这方面．所以我们原来的功能说．我们将插入为所有人微分方程中的项。

所以不是微分方程的解吗．

我们先求关于的导数我们的函数．

接下来我们将把这个值代入微分方程。

接下来我们将全部写下来在这方面．回想一下我们最初的函数是这样说的，我们将把它全部插入条款。

所以，微分方程是解吗．

让我们考虑一下．通过求导我们可以看到．我们将把这个代回微分方程，同时代入．

所以微分方程是解吗

不是所有的微分方程都有解。很多，如果不是全部，一阶微分方程都有解。然而，当我们进入二阶和三阶微分方程时，其中一些可能没有解。

这是一个二阶微分方程。回想一下，微分方程是既有一个函数又有至少一个导数的方程。有多个导数的方程，例如有一阶、二阶和三阶导数的方程，仍然是微分方程。这个二阶微分方程包含二阶导数。

让我们考虑这个方程．如果求导，就会看到．代入for在微分方程中进行替换．

所以这个函数微分方程是解吗．

考虑．这个函数的导数是．现在把这个代入微分方程然后替换与．

这就是微分方程的解是．

在上面的例子中，这是唯一一个随时间变化的例子。种群的增长会随着时间的推移而变化，这取决于几个因素，如可用的资源、捕食者/猎物的相互作用和承载能力。指数增长模型实际上是一个微分方程:

在哪里增长率和是当前人口。这个微分方程有解．通常情况下(如果不是全部的话)人口不可能永远呈指数增长，所以我们还有一个微分方程，这是logistic增长模型，它考虑了承载能力:

在哪里是承载能力。这个微分方程的解是．