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微积分3:参数曲线

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例子问题

例子问题1:参数曲线

求所描述的参数曲线的长度

$x = 2\sin t$

$y = 2\cos t$

从 t=0 来 $\pi$ ．

可能的答案:

其他答案都没有

$2\pi$

$4\pi$

$\frac{3\pi}{4}$

$\pi$

正确答案:

$2\pi$

解释：

有几种方法可以解决这个问题，但最有效的方法是注意我们可以推导出下面的-

$x^2 = 4\sin^2t$

$y^2 = 4\cos^2t$

因此

$x^2+y^2 = 4\sin^2t + 4\cos^2t = 4$

因此我们的曲线是一个有半径的圆 $\sqrt4=2$ 它的周长是 $4\pi$ ．但我们只对一半的范围感兴趣。是来自来 $\pi$ ,而不是 $2\pi$ .)，所以我们的答案是 $2\pi$ ．

或者，我们可以用公式求出长度

$l = \int_{t_0}^{t_1}\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}dt$ ．

例子问题2:参数曲线

求曲线函数的坐标

c(t)=<t^2,t,-3t>
当 t=5 ．

可能的答案:

c(5)=<25,5,-15>

c(5)=<30,10,-5>

c(5)=<2,4,6>

c(5)=<15,10,-10>

正确答案:

c(5)=<25,5,-15>

解释：

为了找到坐标，我们设置 t=5 变成曲线函数。

我们得到了

c(5)=<5^2,5,-3(5)>

因此

c(5)=<25,5,-15>

例子问题3:参数曲线

求曲线函数的坐标

c(t)=<5,t^2,t>

当 t=3

可能的答案:

<0,3,0>

<-5,6,3>

<0,0,3>

<5,9,3>

正确答案:

<5,9,3>

解释：

为了找到坐标，我们求曲线函数的值 t=3

因此,

c(3)=<5, 3^2, 3)>=<5,9,3>

问题4:参数曲线

求曲线函数的坐标

c(t)=<cos (t), sin (t), cos (t)>

当 $t=\frac{\pi}{2}$

可能的答案:

<1,0,1>

<0,1,0>

$<\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2}>$

<1,1,1>

正确答案:

<0,1,0>

解释：

为了找到坐标，我们求曲线函数的值 $t=\pi/2$

因此,

$c(\frac{\pi}{2})=<cos (\frac{\pi}{2}), sin (\frac{\pi}{2}), cos (\frac{\pi}{2})>=<0,1,0>$

例5:参数曲线

求经过这两点的直线方程，以参数形式给出:

(1, 2, 3), (0, -4, 1)

可能的答案:

$\left \langle 1+t, 2-6t, 3+2t\right \rangle$

$\left \langle 1-t, 2+6t, 3+2t\right \rangle$

$\left \langle 1+t, 2+t, 3+t\right \rangle$

$\left \langle 1+t, 2+6t, 3+2t\right \rangle$

正确答案:

$\left \langle 1+t, 2+6t, 3+2t\right \rangle$

解释：

为了求出经过这两点的直线方程，我们必须先求出两点之间的向量:

$\vec{v}=\left \langle 1, 6, 2\right \rangle$

这是通过求向量的x, y, z分量之差来实现的。(这两种顺序都可以，没关系。)

现在，在直线方程中选择一个点作为起始点。我们将直线方程写成:

$\vec{r}=\left \langle 1, 2, 3\right \rangle + t\left \langle 1, 6, 2\right \rangle=\left \langle 1+t, 2+6t, 3+2t\right \rangle$

起始点的选择是任意的。

例子问题6:参数曲线

求参数曲线的坐标

$t=\pi/2$

$x=sin\,t$ ， y=t^2

可能的答案:

$(1/2, \pi/6)$

$(1,\pi^2/4)$

$(0,\pi/2)$

正确答案:

$(1,\pi^2/4)$

解释：

求我们代入的参数曲线的坐标

$t=\pi/2$ ．

$x=sin\,(\pi/2)= 1$

$y=(\pi/2)^2=\pi^2/4$

坐标就是这样

$(1,\pi^2/4)$

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