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微积分3:向量和向量运算

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例子问题

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例子问题1:向量夹角

求出这两个向量的夹角， u=(3,4) , v=(9,-2) ．

可能的答案:

$50^\circ$

$65.66^\circ$

$66^\circ$

$65.5^\circ$

$65.7^\circ$

正确答案:

$65.66^\circ$

解释：

让我们记住求两个向量夹角的公式。

$\cos(\theta)=\frac{(u\cdot v)}{\left \| u\right \|\left \| v\right \|}$

$\cos(\theta)=\frac{((3\cdot 9)+(4\cdot (-2)))}{\sqrt{3^2+4^2}\sqrt{9^2+(-2)^2}}$

$\cos(\theta)=\frac{19}{\sqrt{25}\sqrt{85}}$

$\cos(\theta)=\frac{19}{5\sqrt{85}}$

$\theta=\cos^{-1}\Big(\frac{19}{5\sqrt{85}}\Big)\approx65.66^\circ$

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例子问题2:向量夹角

计算夹角 u=(1,2) ， v=(3,4) ．

可能的答案:

$10.5^\circ$

$10^\circ$

$10.4^\circ$

$10.3^\circ$

$11^\circ$

正确答案:

$10.3^\circ$

解释：

让我们回忆一下求向量夹角的方程。

$\cos(\theta)=\frac{(u\cdot v)}{\left \| u\right \|\left \| v\right \|}$

$\cos(\theta)=\frac{((1\cdot 3)+(2\cdot 4))}{\sqrt{1^2+2^2}\sqrt{3^2+4^2}}$

$\cos(\theta)=\frac{11}{\sqrt{5}\sqrt{25}}$

$\cos(\theta)=\frac{11}{5\sqrt{5}}$

$\theta=\cos^{-1}\Big(\frac{11}{5\sqrt{5}}\Big)\approx 10.3^\circ$

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示例问题3:向量夹角

向量之间的夹角是多少 $\vec{a}= \hat{i}-3\hat{j} +7\hat{k}$ 而且 $\vec{b}= -2\hat{i}+\hat{j} +4\hat{k}$ ?

可能的答案:

$\theta\approx49.2^{\circ}$

$\theta\approx37.2^{\circ}$

$\theta\approx78.1^{\circ}$

$\theta\approx9.1^{\circ}$

正确答案:

$\theta\approx49.2^{\circ}$

解释：

为了求出向量之间的夹角，我们必须使用点积公式

$a\cdot b=\left | a\right |\left | b\right |cos\theta$

在哪里 $a\cdot b$ 是向量的点积吗而且,分别。

$\left | a\right |$ 而且 $\left | b\right |$ 是向量的模吗而且,分别。

$cos\theta$ 是两个向量之间的夹角。

让向量被表示成 $\vec{a}= a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j} +a_{3}\hat{k}$ 和向量被表示成 $\vec{b}= b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j} +b_{3}\hat{k}$ ．

向量的点积而且是 $a\cdot b=a_{1}( b_{1})+a_{2}( b_{2})+a_{3}( b_{3})$ ．

矢量的大小是 $\left | a\right |=\sqrt{(a_{1})^{2}+(a_{2})^{2}+(a_{3})^{2}}$ 和向量是 $\left | b\right |=\sqrt{(b_{1})^{2}+(b_{2})^{2}+(b_{3})^{2}}$ ．

重新排列点积公式来解 $\theta$ 给了我们 $\theta=cos^{-1}\left ( \frac{a\cdot b}{\left | a\right |\left | b\right |}\right )$

对于这个问题,

$a\cdot b=a_{1}( b_{1})+a_{2}( b_{2})+a_{3}( b_{3})=1(-2)+(-3)(1)+(7)(4)$

$a\cdot b=-2-3+28=23$

$\left | a\right |=\sqrt{(a_{1})^{2}+(a_{2})^{2}+(a_{3})^{2}}=\sqrt{(1)^{2}+(-3)^{2}+(7)^{2}}$

$\left | a\right |=\sqrt{1+9+49}=\sqrt{59}$

$\left | b\right |=\sqrt{(b_{1})^{2}+(b_{2})^{2}+(b_{3})^{2}}=\sqrt{(-2)^{2}+(1)^{2}+(4)^{2}}$

$\left | b\right |=\sqrt{4+1+16}=\sqrt{21}$

$\theta=cos^{-1}\left ( \frac{a\cdot b}{\left | a\right |\left | b\right |}\right )=cos^{-1}\left ( \frac{23}{\sqrt{59}\sqrt{21}}\right )=cos^{-1}\left ( \frac{23}{\sqrt{1239}}\right )$

$\theta\approx49.2^{\circ}$

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示例问题4:向量夹角

向量之间的夹角是多少 $\vec{a}=2 \hat{i}-1\hat{j} +7\hat{k}$ 而且 $\vec{b}= \hat{i}+2\hat{j}$ ?

可能的答案:

$\theta\approx90^{\circ}$

$\theta\approx0^{\circ}$

$\theta\approx45^{\circ}$

$\theta\approx8.1^{\circ}$

正确答案:

$\theta\approx90^{\circ}$

解释：

为了求出向量之间的夹角，我们必须使用点积公式

$a\cdot b=\left | a\right |\left | b\right |cos\theta$

在哪里 $a\cdot b$ 是向量的点积吗而且,分别。

$\left | a\right |$ 而且 $\left | b\right |$ 是向量的模吗而且,分别。

$cos\theta$ 是两个向量之间的夹角。

让向量被表示成 $\vec{a}= a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j} +a_{3}\hat{k}$ 和向量被表示成 $\vec{b}= b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j} +b_{3}\hat{k}$ ．

向量的点积而且是 $a\cdot b=a_{1}( b_{1})+a_{2}( b_{2})+a_{3}( b_{3})$ ．

矢量的大小是 $\left | a\right |=\sqrt{(a_{1})^{2}+(a_{2})^{2}+(a_{3})^{2}}$ 和向量是 $\left | b\right |=\sqrt{(b_{1})^{2}+(b_{2})^{2}+(b_{3})^{2}}$ ．

重新排列点积公式来解 $\theta$ 给了我们 $\theta=cos^{-1}\left ( \frac{a\cdot b}{\left | a\right |\left | b\right |}\right )$

对于这个问题,

$a\cdot b=a_{1}( b_{1})+a_{2}( b_{2})+a_{3}( b_{3})=2(1)+(-1)(2)+(7)(0)$

$a\cdot b=2-2+0=0$

$\left | a\right |=\sqrt{(a_{1})^{2}+(a_{2})^{2}+(a_{3})^{2}}=\sqrt{(2)^{2}+(1)^{2}+(7)^{2}}$

$\left | a\right |=\sqrt{4+1+49}=\sqrt{54}$

$\left | b\right |=\sqrt{(b_{1})^{2}+(b_{2})^{2}+(b_{3})^{2}}=\sqrt{(1)^{2}+(2)^{2}+(0)^{2}}$

$\left | b\right |=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$

$\theta=cos^{-1}\left ( \frac{a\cdot b}{\left | a\right |\left | b\right |}\right )=cos^{-1}\left ( \frac{0}{\sqrt{54}\sqrt{5}}\right )=cos^{-1}\left (0\right )$

$\theta\approx90^{\circ}$

向量是垂直的

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示例问题5:向量夹角

向量之间的夹角是多少 $\vec{a}=-2 \hat{i}-3\hat{j} +\hat{k}$ 而且 $\vec{b}= \hat{i}+2\hat{j}+5\hat{k}$ ?

可能的答案:

$\theta\approx120.8^{\circ}$

$\theta\approx8.37^{\circ}$

$\theta\approx81.58^{\circ}$

$\theta\approx98.42^{\circ}$

正确答案:

$\theta\approx98.42^{\circ}$

解释：

为了求出向量之间的夹角，我们必须使用点积公式

$a\cdot b=\left | a\right |\left | b\right |cos\theta$

在哪里 $a\cdot b$ 是向量的点积吗而且,分别。

$\left | a\right |$ 而且 $\left | b\right |$ 是向量的模吗而且,分别。

$cos\theta$ 是两个向量之间的夹角。

让向量被表示成 $\vec{a}= a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j} +a_{3}\hat{k}$ 和向量被表示成 $\vec{b}= b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j} +b_{3}\hat{k}$ ．

向量的点积而且是 $a\cdot b=a_{1}( b_{1})+a_{2}( b_{2})+a_{3}( b_{3})$ ．

矢量的大小是 $\left | a\right |=\sqrt{(a_{1})^{2}+(a_{2})^{2}+(a_{3})^{2}}$ 和向量是 $\left | b\right |=\sqrt{(b_{1})^{2}+(b_{2})^{2}+(b_{3})^{2}}$ ．

重新排列点积公式来解 $\theta$ 给了我们 $\theta=cos^{-1}\left ( \frac{a\cdot b}{\left | a\right |\left | b\right |}\right )$

对于这个问题,

$a\cdot b=a_{1}( b_{1})+a_{2}( b_{2})+a_{3}( b_{3})=-2(1)+(-3)(2)+(1)(5)$

$a\cdot b=-2-6+5=-3$

$\left | a\right |=\sqrt{(a_{1})^{2}+(a_{2})^{2}+(a_{3})^{2}}=\sqrt{(-2)^{2}+(-3)^{2}+(1)^{2}}$

$\left | a\right |=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}$

$\left | b\right |=\sqrt{(b_{1})^{2}+(b_{2})^{2}+(b_{3})^{2}}=\sqrt{(1)^{2}+(2)^{2}+(5)^{2}}$

$\left | b\right |=\sqrt{1+4+25}=\sqrt{30}$

$\theta=cos^{-1}\left ( \frac{a\cdot b}{\left | a\right |\left | b\right |}\right )=cos^{-1}\left ( \frac{-3}{\sqrt{14}\sqrt{30}}\right )=cos^{-1}\left (\frac{-3}{\sqrt{420}}\right )$

$\theta\approx98.42^{\circ}$

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例子问题1:向量夹角

向量之间的夹角是多少 $\vec{a}= \hat{i}+3\hat{j} +5\hat{k}$ 而且 $\vec{b}= 2\hat{i}+6\hat{j}+10\hat{k}$ ?

可能的答案:

$\theta\approx8.37^{\circ}$

$\theta\approx90^{\circ}$

$\theta\approx0^{\circ}$

$\theta\approx120^{\circ}$

正确答案:

$\theta\approx0^{\circ}$

解释：

为了求出向量之间的夹角，我们必须使用点积公式

$a\cdot b=\left | a\right |\left | b\right |cos\theta$

在哪里 $a\cdot b$ 是向量的点积吗而且,分别。

$\left | a\right |$ 而且 $\left | b\right |$ 是向量的模吗而且,分别。

$cos\theta$ 是两个向量之间的夹角。

让向量被表示成 $\vec{a}= a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j} +a_{3}\hat{k}$ 和向量被表示成 $\vec{b}= b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j} +b_{3}\hat{k}$ ．

向量的点积而且是 $a\cdot b=a_{1}( b_{1})+a_{2}( b_{2})+a_{3}( b_{3})$ ．

矢量的大小是 $\left | a\right |=\sqrt{(a_{1})^{2}+(a_{2})^{2}+(a_{3})^{2}}$ 和向量是 $\left | b\right |=\sqrt{(b_{1})^{2}+(b_{2})^{2}+(b_{3})^{2}}$ ．

重新排列点积公式来解 $\theta$ 给了我们 $\theta=cos^{-1}\left ( \frac{a\cdot b}{\left | a\right |\left | b\right |}\right )$

对于这个问题,

$a\cdot b=a_{1}( b_{1})+a_{2}( b_{2})+a_{3}( b_{3})=1(2)+(3)(6)+(5)(10)$

$a\cdot b=2+18+50=70$

$\left | a\right |=\sqrt{(a_{1})^{2}+(a_{2})^{2}+(a_{3})^{2}}=\sqrt{(1)^{2}+(3)^{2}+(5)^{2}}$

$\left | a\right |=\sqrt{1+9+25}=\sqrt{35}$

$\left | b\right |=\sqrt{(b_{1})^{2}+(b_{2})^{2}+(b_{3})^{2}}=\sqrt{(2)^{2}+(6)^{2}+(10)^{2}}$

$\left | b\right |=\sqrt{4+36+100}=\sqrt{140}$ $\theta=cos^{-1}\left ( \frac{a\cdot b}{\left | a\right |\left | b\right |}\right )=cos^{-1}\left ( \frac{70}{\sqrt{35}\sqrt{140}}\right )=cos^{-1}\left (\frac{70}{\sqrt{4900}}\right )$

$\theta=cos^{-1}\left (\frac{70}{70}\right )=cos^{-1}\left (1\right )$

$\theta\approx0^{\circ}$

这两个向量是平行的。

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示例问题7:向量夹角

求出两个向量之间近似锐角的度数 <2,2,5>, <0,5,-1> ．

可能的答案:

80.17

29.77

12.55

其他答案都没有

79.23

正确答案:

80.17

解释：

要求两个向量之间的夹角，用这个公式

$\theta = \cos^{-1}(\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|})$ ．

$\theta = \cos^{-1}(\frac{<2,2,5>\cdot<0,5,-1>}{\sqrt{4+4+25}\sqrt{0+25+1}})$

$\theta = \cos^{-1}(\frac{5}{\sqrt{858}})$

$\theta \approx 80.22$

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示例问题8:向量夹角

求出下面两个向量的夹角。

$\vec{A}=3\hat{i}+5\hat{j}-\hat{k}, \vec{B}=6\hat{i}-2\hat{j}+5\hat{k}$

可能的答案:

$3.61 ^{\circ}$

$18.41 ^{\circ}$

$32.57 ^{\circ}$

$86.39 ^{\circ}$

正确答案:

$86.39 ^{\circ}$

解释：

为了求出两个向量之间的夹角，我们需要取它们的点积和它们的模的商:

$\frac{\vec{A}\cdot \vec{B}}{\left|\vec{A} \right| \left| \vec{B} \right| } = \cos{\theta}\Rightarrow \theta = \cos^{-1} \left( \frac{\vec{A}\cdot \vec{B}}{\left|\vec{A} \right| \left| \vec{B} \right| }\right )$

因此，我们发现

$\vec{A}\cdot\vec{B}=3(6)+5(-2)-1(5)=3,$

$\left| \vec{A}\right| = \sqrt{3^2+5^2+1^2}=\sqrt{35}, \left| \vec{B}\right| = \sqrt{6^2+2^2+5^2}=\sqrt{65}$

$\theta = \cos^{-1} \left( \frac{3}{\sqrt{35}\sqrt{65} }\right)=86.39 ^{\circ}$ ．

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示例问题9:向量夹角

求向量之间的锐角 $<1,0,\frac{1}{2}>, <\frac{3}{2},0, 12>$ 在度。

可能的答案:

40.542

42.690

8.659

82.341

56.310

正确答案:

56.310

解释：

为了求向量间的夹角，我们用这个公式

$\theta = \cos^{-1}(\frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\|})$ ．

代入我们的值，我们得到

$\theta = \cos^{-1}(\frac{<1,0,\frac{1}{2}> \cdot <\frac{3}{2},0,12>}{\sqrt{1^2+0^2+\frac{1}{2}^2}\sqrt{\frac{3}{2}^2+0^2+12^2}}) \approx \cos^{-1}(\frac{7.5}{13.521}) = 56.310$

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示例问题10:向量夹角

求出两个向量之间的夹角。

u=<2,0>
$v=<\sqrt{3}, 1>$

可能的答案:

$\theta = \frac{\pi}{6}$

不存在角

$\theta = \frac{\pi}{2}$

$\theta = \frac{\pi}{3}$

正确答案:

$\theta = \frac{\pi}{6}$

解释：

为了求出两个向量的夹角，我们用下面的公式

$cos \, \theta = \frac{u\bullet v}{\left \| u\right \|*\left \| v\right \|}$

和解决 $\theta$ ．

鉴于

u=<2,0>
$v=<\sqrt{3}, 1>$ 我们发现

$u\bullet v= 2*\sqrt3+0*1=2\sqrt3$

$\left \| u\right \|=\sqrt{2^2+0^2}=\sqrt4=2$

$\left \| v\right \|=\sqrt{\sqrt{3}^2+1^2}=\sqrt4=2$

代入这些值，我们得到

$cos\, \theta = \frac{2\sqrt3}{2*2}=\frac{\sqrt3}{2}$

找到 $\theta$ 我们计算 $cos^{-1}$ 双方的

$cos^{-1}[cos(\theta)]=cos^{-1}(\frac{\sqrt3}{2})$

,发现

$\theta = \frac{\pi}{6}$

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