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微积分3:向量之间的距离

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例子问题

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例子问题1:向量之间的距离

考虑到向量

v=(1,0,5)

w=(0,2,4)

求它们之间的距离， d(v,w) ．

可能的答案:

$\sqrt{7}$

$\sqrt{5}$

$\sqrt{6}$

正确答案:

$\sqrt{6}$

解释：

去寻找距离 d(v,w) 向量之间的

v=(1,0,5)

w=(0,2,4)

我们进行以下计算:

$d(v,w)=\sqrt{(1-0)^2+(0-2)^2+(5-4)^2}=\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2}$

$=\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6}$

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例子问题2:向量之间的距离

发现的距离 d(v,w) 在两个向量之间

v=(1,3)

w=(5,2)

可能的答案:

$\sqrt{17}$

$\sqrt{18}$

正确答案:

$\sqrt{17}$

解释：

去寻找距离 d(v,w) 在两个向量之间

v=(1,3)

w=(5,2)

我们进行以下计算

$d(v,w)=\sqrt{(1-5)^2+(3-2)^2}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}$

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例子问题1:向量之间的距离

求两个向量之间的欧氏距离:

$\mathbf{u}=[5, 3, 0], \, \;\mathbf{v}=[2, -2, \sqrt{2}]$

可能的答案:

$\frac{9\sqrt{2}}{2}$

$3\sqrt{2}$

正确答案:

解释：

两个向量之间的欧氏距离为:

$d=\sqrt{(u_x-v_x)^2+(u_y-v_y)^2+(u_z-v_z)^2}$

代入给定的数字，我们有:

$d=\sqrt{(5-2)^2+(3-(-2))^2+(0-\sqrt2)^2}$

$d=\sqrt{3^2+5^2+\sqrt{2}^2}=\sqrt{9+25+2}=\sqrt{36}=6$

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示例问题4:向量之间的距离

找出两者之间的距离 $\overrightarrow{XY}$ 如果 $X= \left \langle 1,0,-5\right \rangle$ 而且 $Y=\left \langle -3,2,-1\right \rangle$ ．

可能的答案:

$6\sqrt2$

$3\sqrt2$

$\sqrt{14}$

$2\sqrt3$

正确答案:

解释：

写出求矢量大小的公式 $v=\overrightarrow{XY}$ ．

$\left | v\right | = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$

把这些点代入假设方程 $X=\left \langle x_1,y_1,z_1\right \rangle$ 而且 $Y=\left \langle x_2,y_2,z_2\right \rangle$ ．

$\left | v\right | = \sqrt{(-3-1)^2+(2-0)^2+(-1-(-5))^2}$

$\left | v\right | = \sqrt{(-4)^2+(2)^2+4^2}$

$\left | v\right | = \sqrt{16+4+16} = \sqrt{36}= 6$

答案是:

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示例问题5:向量之间的距离

计算线段的长度AB鉴于一个（−5，−2,0)而且B(6 0 3):

可能的答案:

$\sqrt{134}$

$\sqrt{14}$

以上都不是

$\sqrt{114}$

正确答案:

$\sqrt{134}$

解释：

首先我们要找到 $\vec{AB}$

$\vec{AB}=(6-(-5),0-(-2),3-0)=(11,2,3)$

所以

$\left \| \vec{AB} \right \|= \sqrt{121+4+9}=\sqrt{134}$

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示例问题6:向量之间的距离

计算向量之间的距离 $\left \langle 2,3,5\right \rangle$ 而且 $\left \langle 2,0,9\right \rangle$ ．

可能的答案:

$\sqrt8$

正确答案:

解释：

两个向量之间距离的公式

$a=\left \langle x_1,y_1,z_1\right \rangle$

而且

$b=\left \langle x_2,y_2,z_2\right \rangle$ 是

$distance=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}$ ．

利用给定的向量，我们得到

$\sqrt{(2-2)^2+(3-0)^2+(5-9)^2}=\sqrt{0+9+16}=5$

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例子问题1:向量之间的距离

求向量之间的距离 $\left \langle 0,1,4\right \rangle$ 而且 $\left \langle 2,9,1\right \rangle$ ．

可能的答案:

$\sqrt{55}$

$\sqrt{77}$

$\sqrt{80}$

正确答案:

$\sqrt{77}$

解释：

为了求出向量之间的距离，我们用这个公式

$d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}$ ，

其中一个向量是

$V_1=\left \langle x_1,y_1,z_1\right \rangle$

另一个是

$V_2=\left \langle x_2,y_2,z_2\right \rangle$ ．

利用已知的向量，我们得到

$d=\sqrt{(0-2)^2+(1-9)^2+(4-1)^2}=\sqrt{4+64+9}=\sqrt{77}$ ．

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示例问题8:向量之间的距离

求向量之间的距离 $\left \langle 1,3,3\right \rangle$ 而且 $\left \langle 2,-1,1\right \rangle$ ．

可能的答案:

$\sqrt{22}$

$\sqrt{19}$

$\sqrt{21}$

正确答案:

$\sqrt{21}$

解释：

为了求出向量之间的距离，我们用这个公式

$d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2}$ ，

其中一个向量是

$V_1=\left \langle x_1,y_1,z_1\right \rangle$

另一个是

$V_2=\left \langle x_2,y_2,z_2\right \rangle$ ．

利用已知的向量，我们得到

$d=\sqrt{(1-2)^2+(3-(-1))^2+(3-1)^2}=\sqrt{1+16+4}=\sqrt{21}$ ．

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例子问题1:向量之间的距离

(1,3， -10)和(2,5,4)之间的距离是

可能的答案:

$3\sqrt{14}$

$10\sqrt{2}$

以上都不是

$\sqrt{201}$

正确答案:

$\sqrt{201}$

解释：

我们使用距离公式:

$d=\sqrt{(2-1)^2+(5-3)^2+(4+10)^2}=\sqrt{1+4+196}=\sqrt{201}$

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示例问题10:向量之间的距离

考虑到分P(2,−1、5)而且问：(−2 0 3)．向量的大小P来问是:

可能的答案:

$\left \|\vec{PQ} \right \|=9$

$\left \|\vec{PQ} \right \|=\sqrt{65}$

以上都不是

$\left \|\vec{PQ} \right \|=\sqrt{21}$

$\left \|\vec{PQ} \right \|=\sqrt{5}$

正确答案:

$\left \|\vec{PQ} \right \|=\sqrt{21}$

解释：

首先我们要找到 $\vec{PQ}$ ：

$\vec{PQ}=(-2-2,0+1,3-5)=(-4,1,-2)$

因此,

$\left \| \vec{PQ} \right \|=\sqrt{16+1+4}=\sqrt{21}$

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