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微积分1:如何求区域的面积

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例子问题

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问题51:如何找到一个区域的面积

点积是什么 $a=\left \langle 5,-2,6\right \rangle$ 而且 $b=\left \langle 1,2,8\right \rangle$ ?

可能的答案:

正确答案:

解释：

的点积 $a=\left \langle 5,-2,6\right \rangle$ 而且 $b=\left \langle 1,2,8\right \rangle$ 是它的各个相应成分的乘积的和，还是

$(5\times 1)+(-2\times 2)+(6\times 8)=5-4+48=1+48=49$ ．

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问题52:如何找到一个区域的面积

点积是什么 $a=\left \langle 3,-3,9\right \rangle$ 而且 $b=\left \langle 3,2,1\right \rangle$ ?

可能的答案:

正确答案:

解释：

的点积 $a=\left \langle 3,-3,9\right \rangle$ 而且 $b=\left \langle 3,2,1\right \rangle$ 是它的各个相应成分的乘积的和，还是

$(3\times 3)+(-3\times 2)+(9\times 1)=9-6+9=3+9=12$ ．

报告错误

问题53:如何找到一个区域的面积

求两者之间的区域面积 f(x)=x+2 而且 g(x)=x^2-1 从 x=0 来 x=2 ．

可能的答案:

$5\tfrac{1}{3}$

$1\tfrac{1}{3}$

$2\tfrac{2}{3}$

正确答案:

$5\tfrac{1}{3}$

解释：

求曲线之间的面积，函数为

$\\A=\int_{0}^{2}(f(x)-g(x))dx\\ A=\int_{0}^{2}(x+2-(x^2-1)dx\\A=\int_{0}^{2}(x+3-x^2)dx$

然后从0到2积分。

$\\A=-\frac{1}{3}\cdot 2^3+\frac{1}{2}\cdot 2^2+3\cdot 2 -\left(-\frac{1}{3}\cdot 0^3+\frac{1}{2}\cdot 0^2+3\cdot 0 \right)\\-\frac{8}{3}+2+6-0=5\frac{1}3{}$

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问题54:如何找到一个区域的面积

求两者之间的区域面积 f(x)=2x+1 而且 g(x)=3x^2+2x-1 从 x=0 来 x=4 ．

可能的答案:

正确答案:

解释：

求曲线之间的面积，函数为

$\\A=\int_{0}^{4}(f(x)-g(x))dx\\ A=\int_{0}^{4}(2x+1-(3x^2+2x-1)dx\\A=\int_{0}^{4}(-3x^2+2)dx$

然后从0到4积分。

A=-(4)^3+2(4)-(-0^3+2(0))=-56

报告错误

问题55:如何找到一个区域的面积

求出边界区域的面积 g(x) ,-轴和直线．

g(x)=4x^3+6x^2-8x+4

可能的答案:

79.5units^2

325units^2

875units^2

795units^2

正确答案:

795units^2

解释：

求出由g(x)， x轴和直线约束的区域的面积．

看来我们得找出面积。听起来像是一个整体问题。

我们需要一个定积分，积分限在0和5处:

$\int_{0}^{5}g(x)dx=\int_{0}^{5}4x^3-5x^3+6x^2-8x+4dx$

回想一下，要对多项式积分，我们将指数加1，然后除以这个数:

$\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$

这,

$G(x)=\int_{0}^{5}4x^3+6x^2-8x+4dx$

就变成:

G(x)=x^4+2x^3-4x^2+4x+c_0^5

现在我们需要计算给定区间上的积分。我们通过代入极限来求差值:

G(5)-G(0)

很方便，G(0) = 0，所以我们只需要求出G(5)

G(5)=5^4+2(5)^3-4(5)^2+4(5)=625+250-100+20=795units^2

所以我们的答案是:

795units^2

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问题56:如何找到一个区域的面积

求曲线之间的区域面积 g(x) ,而且坐标轴和直线 x=4 ．

g(x)=4x^3+3x^2

可能的答案:

320 units^2

340 units^2

32 units^2

80 units^2

正确答案:

320 units^2

解释：

求出g(x)曲线、x轴和y轴与直线之间的区域面积

为了求出这个区域的面积，我们可以用一个极限为0和4的定积分。

$\int_{0}^{4}4x^3+3x^2dx=x^4+x^{3}{_0^4}$

$x^4+x^{3}{_0^4}=(4^4+4^3+c)-(0^4+0^3+c)=320 units^2$

注意到c约掉了结果只剩下实数。

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问题57:如何找到一个区域的面积

求出边界区域的面积 f(x) ，以及-轴 $\left[\frac{\pi}{2},\pi\right]$ ．

{}f(x)=5sin(x)

可能的答案:

正确答案:

解释：

求出f(x)和y轴在区间上的面积 $\left[\frac{\pi}{2},\pi\right]$ ．

{}f(x)=5sin(x)

为了求出一个区域的面积，我们要用积分。积分的极限就是积分区间的端点。

$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}5sin(x)dx$

回想一下对sin积分的规则，用在这里。

$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}5sin(x)dx=5(-cos(x)+c){_\frac{\pi}{2}^{\pi}$

最后，求积分值:

$5(-cos(\pi)+c)-5\left(-cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+c\right)=(5+5c)-(0+5c)=5$

得到

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问题58:如何找到一个区域的面积

求出边界区域的面积 f(x) ,-轴和直线 x=5,x=6 ．

$f(x)=\frac{16}{x}$

可能的答案:

29.17

18.23

0.182

2.917

正确答案:

2.917

解释：

求出由h(t)， x轴和直线约束的区域的面积 x=5,x=6

$f(x)=\frac{16}{x}$

为了求面积，建立一个积分:

$\int_{5}^{6}\frac{16}{x}dx$

记得:

$\int\frac{1}{x}dx=ln(x)$

所以我们得到:

$\int_{5}^{6}\frac{16}{x}dx=16ln(x)^6_5$

16ln(6)-16ln(5)=2.917

所以我们的答案是:

2.917

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问题59:如何找到一个区域的面积

一家公司生产成本低廉的打印机 $\$100$ 制造并出售它们 $\$200$ ．如果一个公司一年销售的打印机数量可以用这个方程来建模 y=-13x^2+770718x+450432 ，为了使利润最大化，公司每年应该生产多少台打印机?

可能的答案:

26,753

29,643

以上都不是。

36,326

31,623

正确答案:

29,643

解释：

要解决这个问题，我们必须能在方程的图上找到最大值的点。

为了达到这个目的，我们必须对方程求导，使它等于零，然后求解．

用幂法则对方程求导

$\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}}$ ，

我们发现这个方程变成了

y'=-26x+770718 ．

设方程为0，解，我们发现为了利润最大化，该公司每年应该生产29643台打印机。

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例子问题60:如何找到一个区域的面积

集成

y=2xcos(4x)

可能的答案:

$\frac{xsin(4x)}{2}-\frac{cos(4x)}{8}+C$

$\frac{xsin(4x)}{2}-\frac{cos(4x)}{8}$

$\frac{xsin(4x)}{2}+\frac{cos(4x)}{8}$

$\frac{xsin(4x)}{2}+\frac{cos(4x)}{8}+C$

$\frac{sin(4x)}{2}(x-1) +C$

正确答案:

$\frac{xsin(4x)}{2}+\frac{cos(4x)}{8}+C$

解释：

这可以通过分部积分法进行积分。

$u=2x\rightarrow u'=2dx$

$v'=cos(4x)\rightarrow v=\frac{sin(4x)}{4}$

$\\\int 2xcos(4x)dx\\ \\=uv-\int u'v\\ \\=\frac{xsin(4x)}{2}-\int \frac{sin(4x)dx}{2}$

$=\frac{xsin(4x)}{2}+\frac{cos(4x)}{8}+C$

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