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AP物理C:力学:计算引力

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例子问题

例子问题1:计算引力

火箭从月球表面发射的最小速度必须是多少，才能不受月球引力的影响而掉下来?

月球的质量是 $7.2*10^{22}kg$ 它的半径是 1.8*10^6m ．

$\small G=6.67*10^{-11}\frac{m^2N}{kg^2}$

可能的答案:

$730\frac{m}{s}$

$520\frac{m}{s}$

$1.6\frac{km}{s}$

$470\frac{m}{s}$

$2.3\frac{km}{s}$

正确答案:

$2.3\frac{km}{s}$

解释：

相关方程:

$E_{total}=K+U_g$

$K = \frac{1}{2}mv^2$

$U_g=\frac{-GMm}{r}$

要使火箭摆脱月球引力，它的最小总能量为零。如果总能量为零，那么当火箭离月球无限远时，它的最终速度将为零。如果总能量小于零，火箭就会掉回月球表面。如果总能量大于零，火箭在无限远的地方会有最终速度。

对于火箭离开地面时能量最小的情况

$0 = K + U_g = \frac{1}{2}mv_{esc}^2 - \frac{GMm}{r}$

重新排列能量方程以分离速度项。

$v_{esc}^2 = \frac{GMm}{\frac{1}{2}mr}$

$v_{esc}=\sqrt{\frac{2GM}{r}}$

代入给定值求解速度。

$v_{esc}=\sqrt{\frac{2(6.67*10^{-11}\frac{m^2N}{kg^2})(7.2*10^{22}kg)}{(1.8*10^6m)}}=2310\frac{m}{s}\approx 2.3\frac{km}{s}$

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示例问题22:部队

太阳对a的引力是多少 $\small 5.0kg$ 如果太阳的质量是地球表面的书 $2.0*10^{30}kg$ 地日距离是 $1.5*10^{11}m$ ?

$\small G=6.67*10^{-11}\frac{m^2N}{kg^2}$

可能的答案:

$1.5*10^{-2}N$

3.0*10^4 N

4.4*10^9 N

$5.9*10^{3}N$

$3.0*10^{-2}N$

正确答案:

$3.0*10^{-2}N$

解释：

相关方程:

$|F_g| = \frac{GMm}{r^2}$

用给定的值来求解力。

$|F_g| = \frac{(6.67*10^{-11}\frac{m^2N}{kg^2})(2.0*10^{30}kg)(5kg)}{(1.5*10^{11}m)^2}=0.0296N\approx 3.0*10^{-2}N$

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问题21:部队

两个质量相等的球体在空间中是孤立的，并且被一段距离隔开．如果这个距离翻倍，两个球体之间的引力会因什么因素改变?

可能的答案:

没有变化

$\frac{1}{4}$

$\frac{1}{2}$

正确答案:

$\frac{1}{4}$

解释：

牛顿的万有引力定律表明:

$F_g=\frac{Gm_1 m_2}{r^2}$

我们可以写出两个方程来描述加倍前后的重力:

$F_{g,1} =\frac{Gm_1 m_2}{d^2}$

$F_{g,2}=\frac{Gm_1 m_2}{(2d)^2}$

加倍后的重力方程可以简化为:

$F_{g,2}=\frac{Gm_1 m_2}{4d^2}$

$F_{g,2}=\frac{1}{4}\frac{Gm_1 m_2}{d^2}$

因为球体的质量保持不变，万有引力常数也保持不变，我们可以将Fg1的定义代入方程:

$F_{g,2} = \frac{1}{4}F_{g,1}$

当两个球体之间的距离增加一倍时，引力减小了四倍。

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问题101:力学考试

两个质量相等的球体在空间中是孤立的。如果一个球的质量是原来的两倍，通过什么因素，两个球所经历的引力改变?

可能的答案:

$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{4}$

正确答案:

解释：

牛顿万有引力定律指出:

$F_g=\frac{Gm_1m_2}{r^2}$

我们可以写出两个方程来表示质量加倍前后的重力:

$F_{g,1}=\frac{Gm_{a,1}m_{b,1}}{r^2}$

$F_{g,2}=\frac{Gm_{a,2}m_{b,2}}{r^2}$

这个问题告诉我们 $m_{a,2}=2m_{a,1}$ 我们可以假设其他变量保持不变。

将这些定义代入下式:

$F_{g,2}=\frac{G(2m_{a,1})m_{b,1}}{r^2}$

这个等式化简为:

$F_{g,2}=2 \frac{Gm_{a,1}m_{b,1}}{r^2}$

代入Fg1的定义，我们看到:

$F_{g,2}=2F_{g,1}$

因此，当一个物体的质量加倍时，引力加倍。

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例子问题1:重力

你在电梯里，电梯在加速上升 $1.5\: m/s^2$ ，当你注意到一个垂直悬挂在弹簧秤上的物体的读数为 $35\: N$ ．

当电梯以匀速下降时，弹簧秤上的读数是多少?

可能的答案:

$35\:N$

$27.9\:N$

$26.2\:N$

$29.1\:N$

$30.35\:N$

正确答案:

$30.35\:N$

解释：

当电梯向上加速时，我们知道物体会显得更重。法向力是所有力的总和，在这种情况下是 $35\:N$ ．我们知道法向力有两个分量，一个来自重力，一个来自电梯加速度。利用这个方程，我们可以确定物体的质量，它不变:

F_n = ma + mg = m(g+a)

加速度是由重力引起的吗是电梯的加速度。

当代入值时，我们得到 35 = m(9.8+1.5)

解,我们得到 $m = 3.097\:kg$

由于电梯以恒定的速度下降，没有施加额外的力，因此弹簧秤上读到的力只是重力，计算公式为:

f=mg

$3.097 \cdot 9.8 = 30.35\:N$

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问题101:美联社物理C

行星卫星的质量和半径是 $5.35\times10^{22} \:kg$ 而且 $1740\: km$ 分别。

一颗子弹在月球表面附近水平发射时，最低速度是多少才能使它永远不会击中地面?

(注:你可以把月球看作一个光滑的球体，并假设那里没有大气层。)

可能的答案:

$1.89\:km/s$

$1.52\:km/s$

$1.77\:km/s$

$1.63\:km/s$

$1.43\:km/s$

正确答案:

$1.43\:km/s$

解释：

为了解决这个问题，我们必须意识到作用在子弹上的重力等于向心力。重力和向心力的公式如下:

$F_g = \frac{GmM}{r^2}, F_c = \frac{mv^2}{r}$

如果我们令这两个方程相等，小的(子弹的质量)会抵消和会从方程右边消失。

$\frac{GM}{r}= v^2 \rightarrow v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$

万有引力是常数吗 $6.67384 \times10^{-11}\: m^3 kg^{-1} s^{-2}$

是已知的 $5.35\times10^{22} kg$ 而且是 $1740\:km \rightarrow 1,740,000\:m$ ．

如果我们把所有的代入，我们得到

$1430\:m/s$ 或 $1.43\:km/s$

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