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AP微积分AB:求解可分离变量微分方程并在建模中使用它们

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例子问题

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例子问题1:抗分化的应用

找到(dy / dx)。

sinxy = x + cos y

可能的答案:

以上都不是

Dy /dx = (1 - cosxy)/(cos(xy) + siny)

Dy /dx = (cos(xy) + siny)/(1 - cos(xy))

Dy /dx = (1 - ycos(xy))/(xcos(xy) + siny)

Dy /dx = (xcos(xy) + siny)/(1 - ycos(xy))

正确答案:

Dy /dx = (1 - ycos(xy))/(xcos(xy) + siny)

解释：

问题的第一步是对(dy/dx)求导:

Cos (xy)[(x)(dy/dx) + y(1)] = 1 - siny (dy/dx)

*注意:当求导cos(xy)时，记得使用乘积法则。(xy' + x'y)

步骤2:清理差异化问题

cosxy (x)(dy/dx) + Cos (xy)y = 1 - siny (dy/dx)

cosxy (x)(dy/dx) + siny (dy/dx) = 1 - cosxy

步骤3:求解(dy/dx)

Dy /dx = (1 - ycos(xy))/(xcos(xy) + siny)

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例子问题2:求解可分离变量微分方程并在建模中使用

求法线的方程 (2,0) 在图表上 $y = x ^ {3} 6 x + 4$ ．

可能的答案:

$y ' = 3 x ^ {2} 6$

$y = \压裂{1}{6}x + 2$

$y = \压裂{1}{6}x + \压裂{1}{3}$

y=6x-12

y=6x+2

正确答案:

$y = \压裂{1}{6}x + \压裂{1}{3}$

解释：

答案是 $y = \压裂{1}{6}x + \压裂{1}{3}$ ．

$y = x ^ {3} 6 x + 4$

$y ' = 3 x ^ {2} 6$

现在代入 x=2 ．

$Y '=3(2)^{2}-6 = 6$ 现在我们知道6是切线的斜率。但是，我们要求的不是切线的斜率。法线的斜率是切线斜率的负倒数;也就是说法线的斜率是 $\压裂{1}{6}$ ．现在求法线的方程。

$y₀= \压裂{1}{6}(x - 2)$

$y = \压裂{1}{6}x + \压裂{1}{3}$

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例子问题1:求解可分离变量微分方程并在建模中使用

$F (x) = \frac{x^3}{1-x^2}$

它的导数是什么 f(x) ?

可能的答案:

$\压裂{2 x ^ 4 - 3 x ^ 2 (1 - x ^ 2)} {(1 - x ^ 2) ^ 2}$

$\压裂{x ^ 2 (3-5x ^ 2)} {1 - x ^ 2}$

$- x$

正确答案:

解释：

使用除法法则。

${y}' = \frac{(1-x^2)(3x^2)-x^3(-2x)}{(1-x^2)^2} = \frac{x^2(3-3x^2+ 2x^2)}{(1-x^2)^2} = \frac{x^2(3-x^2)}{(1-x^2)^2}$

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例子问题1:求解可分离变量微分方程并在建模中使用

找到 $y^{'}$ 如果

$y = \压裂{ln (x)} {x ^ {3}}$

可能的答案:

$\压裂{ln (x) 1} {x ^ {4}}$

$\压裂{3}{x ^ {3}}$

$\压裂{1 + 3 ln (x)} {x ^ {4}}$

$y ' = \压裂{1-3ln (x)} {x ^ {4}}$

$\压裂{1}{x ^ {4}}$

正确答案:

$y ' = \压裂{1-3ln (x)} {x ^ {4}}$

解释：

答案是

$y ' = \压裂{1-3ln (x)} {x ^ {4}}$

$y = \压裂{ln (x)} {x ^ {3}}$

$y ' = \压裂{(\压裂{1}{x}) x ^ {3} ln (x) (3 x ^ {3})} {x ^ {6}}$

$y ' = \压裂{x ^ {2} (1-3ln (x))} {x ^ {6}}$

$y ' = \压裂{1-3ln (x)} {x ^ {4}}$

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例子问题1:抗分化的应用

求导数:

f(x)=x^3-3x^2

可能的答案:

f'(x)=x^2-6x

f'(x)=3x^3-6x^2

f'(x)=3x-6

f'(x)=3x^2-6x

正确答案:

f'(x)=3x^2-6x

解释：

为了求导数，指数乘以x项前面的系数，然后指数减去1:

f'(x)=3x^2-6x

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例子问题1:抗分化的应用

求这个方程的解 $' = y$ 在 $x = 2$ 在初始条件下 $y (0) = 2$ ．

可能的答案:

$e ^ 2$

$2 e$

$e$

$1$

$2 e ^ 2$

正确答案:

$2 e ^ 2$

解释：

首先，我们需要解的微分方程 $' = y$ ．

y'=y

$\frac{dy}{dx}=y$

$\frac{dy}{y}=dx$

$\int \frac{dy}{y}=\int dx$

ln(y)=x+c ,在那里是常数

y=e^xe^c

y=Ce^x ,在那里是常数

找到，使用初始条件， y(0)=2 ，并求解:

C=2

因此, $e ^ y = 2 x$ ．

最后,在 x=2 ， $y (2) e = 2 ^ 2$ ．

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例子问题2:抗分化的应用

求解微分方程: $\frac{dy}{dx}=-2xy$

请注意, (-1,2) 在曲线上。

可能的答案:

y=-2

y=-x^2+ln(2)+1

$y=2e^{1-x^2}$

y=ln(2)+1

正确答案:

$y=2e^{1-x^2}$

解释：

为了解微分方程，你必须先分离变量。

$\frac{dy}{y}=-2xdx$

$\int \frac{dy}{y}= \int -2xdx$

ln(y)=-x^2+C

因为点 (-1,2) 在曲线上， ln(2)=-1+C ．

ln(2)+1=C

ln(y)=-x^2+ln(2)+1

要去掉log，每一项都取e的幂:

$e^{ln(y)}=e^{-x^2}*e^{ln(2)}*e^1$

$y=2e^{1-x^2}$

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例8:求解可分离变量微分方程并在建模中使用

求微分方程的解

$\frac{dy}{dx} = \frac{x^{2}+ 4x}{y^{2}}$ 当 f(0) = 3 ．

可能的答案:

$y^{3} = x^{3} + 2x^{2} + 9$

$\frac{1}{y} = \frac{1}{x} + 2x^{2} + 9$

$\frac{y^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{3} + 2x^{2}$

$\frac{y^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{3} + 2x^{2} - 27$

$\frac{y^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{3} + 2x^{2} + 9$

正确答案:

$\frac{y^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{3} + 2x^{2} + 9$

解释：

首先，分离原微分方程的变量:

$\frac{dy}{dx} = \frac{x^{2}+ 4x}{y^{2}} \Rightarrow y^{2}dy = (x^{2} + 4x)dx$ ．

然后对两边求不定积分，得到

$\frac{y^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{3} + 2x^{2} + C$ ．

使用给定的条件 f(0) = 3 ，代入

x = 0 而且 y=3 ，来解．这给了 c=9 ，所以正确答案是

$\frac{y^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{3} + 2x^{2} + 9$ ．

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例子问题1:求解可分离变量微分方程并在建模中使用

求解下面的可分离变量微分方程 y' = ye^x 在初始条件下 y(0) = e^2 ．

可能的答案:

y=e^2e^x

$y=e^{x^2}$

$y=ee^{e^x}$

$y=e^2e^{e^x}$

$y=e^{e^x}$

正确答案:

$y=ee^{e^x}$

解释：

我们按照以下步骤进行

y'=ye^x ．开始

$\frac{dy}{dx} = ye^x$ ．重写作为 $\frac{dy}{dx}$ ．

$\frac{1}{y}dy=e^xdx$ ．两边同时乘以，然后两边除以．

$\ln|y| =e^x +C$ ．两边积分。不要忘记在一边。

代入初始条件 y(0)=e^2 ．

$\ln|e^2| = e^0+C$ ．

1=C ．解出．

$\ln|y| = e^x+1$

$y = e^{e^x+1}$ ．两边取幂。

$y = ee^{e^x}$ ．指数法则。

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例子问题10:求解可分离变量微分方程并在建模中使用

求解可分离变量的一阶微分方程：

$(y+1)\frac{dy}{dx}=2x-8+\frac{dy}{dx}$

y(0)=8

可能的答案:

$y =\sqrt{x^2 -4x+8 }$

$y =\sqrt{2x^2 -16x+16 }$

y = 8x-x^2 -8

y = x^2 - 8x+8

$y =-\sqrt{2x^2 -16x+8 }$

正确答案:

$y =\sqrt{2x^2 -16x+16 }$

解释：

求解可分离变量的一阶微分方程：

$(y+1)\frac{dy}{dx}=2x-8+\frac{dy}{dx}$

首先，把方程一侧导数的项集合起来。

$(y+1)\frac{dy}{dx}-\frac{dy}{dx}=2x-8$

$\frac{dy}{dx}[(y+1)-1]=2x-8$

$y\frac{dy}{dx}=2x-8$

重要概念注:在关于微分方程的文本中，微分经常出现代数上的重新排列 $\frac{dy}{dx}$ 是一个“分数”，使它看起来好像我们“两边都乘以”得到:．事实并非如此。根据定义，导数是一个极限，当极限存在时，可以取任何包含无理数的实数，即不能写成两个整数之比的数。

例如，我们不能表示 $\pi$ 作为一个比率，但有些函数在某一点上的导数可能等于 $\pi$ ，或者一个函数可能只是有一个无理数，如 $\pi$ 作为导数。例如，如果 $y=\pi x$ 我们写出导数 $\frac{dy}{dx}=\pi$ ．声称而且分别代表一个“分子”和“分母”，我们本质上就是声称找到了一种写无理数的方法，比如 $\pi$ 作为一个比例，这很荒谬。表达式 $\frac{dy}{dx}$ 就是简单的符号。

我们是这样的真的做的事情。

$\int y\frac{dy}{dx}dx=\int (2x-8)dx$

$\int y dy=\int (2x-8)dx$

$\frac{1}{2}y^2 +C_1 =x^2 -8x +C_2$

注意积分常数可以通过定义组合成一个常数．

解出：

y^2 =2(x^2 -8x +C)

$y =\pm \sqrt{2x^2 -16x+C }$

应用初始条件:

$y(0)=\pm \sqrt{C}=8$

C = 16

$y =\pm \sqrt{2x^2 -16x+16 }$

这里我们有两个可能的解。然而，由于初始条件，我们可以很容易地排除负解。 y(0) 一定等于正．

$y(0)=8\: \: \: \: \: \: \Rightarrow\: \: \: \: \: \:\sqrt{16}=8$

$y =\sqrt{2x^2 -16x+16 }$

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